Question

znajdz rownanie prostych w ktorych zawarte sa dwusieczne katow utworzonych przez proste o rownaniach 2x-y-5=0 i x+2y-5=0

Answer 1

2x - y - 5 = 0

x + 2y - 5 = 0

lub

y = 2x - 5

y = (-1/2) x + 2,5

Te proste są prostipadłe, bo 2*(-1/2) = - 1

2x - 5 = -0,5 x + 2,5

2,5 x = 7,5

x = 3

y = 283 - 5 = 1

P = (3 ; 1) punkt przecięcia się prostych.

-----------------------------------------------

I sposób

Prostą o równaniu  y = -0,5x + 2,5 obracamy o kąt 45 stopni wokół punktu P

Prostą  o równaniu y = 2x - 5 obracamy o kąt 45 stopni wokół punktu P

--------------------------------------------------------------------------------------

II sposób:

na prostej o równaniu y = -0,5x + 2,5 leży punkt A = (5; 0)

oddalony od punktu P o r1 = p(5), bo

r1^2 = (5 -3)^2 + (0 -1)^2 = 4 + 1 = 5

Na prostej o równaniu y = 2x - 5 znajdujemy punkt B odległy od punktu P

o r1 = p(5)

B = ( x, 2x -5)

zatem

I PB I ^2 = (x - 3)^2 = ( 2x - 5 - 1)^2 = x^2 -6x + 9 + 4x^2 - 24x + 36

I PB I^2 = 5 x^2 - 30x + 45

zatem

5 x^2 - 30x + 45 = 5

5 x^2 - 30x + 40 = 0

delta = 900 - 4*5*40 = 900 - 800 = 100

p (delty) = 10

x1 = [ 30 - 10]/10 = 2  lub  x2 = [ 30 + 10]/10 = 4

y1 =2*2 - 5 = - 1         lub  y2 = 2*4 - 5 = 3

Mamy dwa takie punkty:

B1 = (4; 3)   i  B2 = (2 ; -1)

Niech S1 - środek odcinka AB1

S1 = ((5+4)/2; (0 +3)/2 ) = ( 4,5 ; 1,5)

oraz S2  - środek odcinka AB2

S2 = ( (5+2)/2 ; (0 -1)/2) = (3,5; -0,5 )

Znajdźmy równania prostych:

pr P S1  oraz PS2

Mamy

P = (3 ; 1), S1 = (4,5; 1,5), S2 = (3,5; -0,5 )

y = ax + b

1 = 3a + b

1,5 = 4,5a + b

------------------- odejmyjemy stronami

0,5 = 1,5 a

a = 1/3

--------

b = 1 - 3*(1/3) = 1 - 1 = 0

pr PS1 ma równanie:

y = (1/3) x

y = ax + b

1 = 3a + b

-0,5 = 3,5a + b

------------------- odejmujemy stronami

1 - (-0,5) = 3a - 3,5a

1,5 = -0,5 a

a = - 3

--------

b = 1 -3*(-3) = 1 + 9 = 10

pr P S2  ma równanie:

y = - 3x + 10

Odp. Równania prostych zawierajacych dwusieczne kątów wyznaczonych

przez proste o równaniach : 2x - y - 5 = 0  oraz x = 2y - 5 = 0

mają równania:

y = (1/3) x  oraz    y = -3x + 10

===================================================