Question

Znajdź ułamki zwykłe, które mają rozwinięcie dziesiętne:

1,3(2) (1,3222222222222)

0,8(21) (0,8212121212121)

Przyjmuję tylko rozwiązania z obliczeniami i jak do tego doszło.

Answer 1

mam nadzieje że tak rozpisane wystarczy, jak co to pisz:P

Answer 2

A więc  dobrze zauważyłeś, że 1,3(2)=1,322222.... Można by napisać, że:

1,322222... = 1,3 + 0,02 + 0,002 + 0,0002 + 0,00002 + ...

(i tak w nieskończoność będą te zera się powiększać). Rozwinąłem to tak, ponieważ należy zauważyć, że liczby 0,02 ; 0,002 ; 0,0002 itd. stają się 10 razy mniejsze. Tworzą zatem ciąg geometryczny. Jeśli idą tak w nieskończoność - Tworzą szereg geometryczny o iloczynie q=0,1  (ponieważ każdy następny wyraz staje się 10 razy mniejszy, czyli 0,1 razy większy). Mamy tutaj sumę takiego szeregu, na który jest wzór:

a1 to pierwszy wyraz szeregu - czyli 0,02. Więc obliczmy sumę tego szeregu.

S=0,02 / (1-0,1) = 0,02/0,9 = 2/90.

Więc 0,02 + 0,002 + 0,0002 + 0,00002 + ... = 2/90

Przed tym jednak mamy jeszcze 1,3 więc należy dodać to 1,3 do 2/90. Otrzymamy: 1 i 3/10 + 2/90 = 117/90 + 2/90 = 119/90 .

Podobnie postępujemy z przykładem drugim:

0,8(21) = 0,821212121... = 0,8 + 0,021 + 0,00021 + 0,0000021 + ...

tutaj  pomniejsza się 100 razy, czyli powiększa 0,01 razy, więc q=0,01. A wyraz pierwszy ciągu to 0,021. Podstawiamy teraz do wzoru:

S=0,021 / 0,99 = 21/990

Dodać do tego S jeszcze trzeba 0,8. Więc dodajmy: (0,8=4/5).

4/5+21/990 = 792/990 + 21/990 = 813/990.