Question

Znajdź tę wartość parametru k, dla której zbiorem rozwiązań nierówności
kx + 9 > 2(x + k) jest przedział (-∞,3).

[Wakacyjna lista wyzwań ; 13]

Answer 1

x < 3

kx + 9 > 2x + 2k

kx - 2x > 2k - 9

x(k-2) > 2k - 9

x(2-k) < 9 - 2k

x < (9 - 2k)/ (2-k),    k < 2 (dziedzina)

A mamy dojść do x < 3, więc:

3 = (9 - 2k)/ (2-k)

6 - 3k = 9 -2k

k = -3, k∈D

Sprawdzę jeszcze, co gdy k = 2:

2x + 9 > 2x + 4

9 > 4, jest to prawda, ale x<3 nie jest rozwiązaniem, a więc k≠2

Answer 2

Dana jest nierówność : kx+9 > 2(x+k) , której zbiorem rozwiązań jest przedział (-∞,3). Zapiszemy te nierówność w postaci równoważnej :

kx+9 > 2(x+k)

kx+9 > 2x+2k

kx-2x > 2k-9

x(k-2) > 2k-9 |:(k-2) , gdzie k-2 < 0

Jeśli obie strony nierówności podzielimy ( pomnożymy ) przez liczbę ujemną, to zmieniamy znak nierówności na przeciwny czyli :

x < (2k-9)/(k-2)

x < 3  ∧ x < (2k-9)/(k-2) czyli (2k-9)/(k-2)=3 |·(k-2)

2k-9=3(k-2)

2k-9=3k-6

2k-3k=-6+9

-k=3 |:(-1)

k=-3

Odp.  k=-3