Question

Znajdź równania stycznych do okręgu o równaniu x2+y2=4 przechodzących przez punkt P(4.-2). Z góry dzięki!

Answer 1

x^2 + y^2 = 4

S = (0; 0)  ,  r = 2

oraz  P = ( 4; - 2)

 

 Niech 

 y = a x + b   będzie szukaną prostą

Ma ona przechodzić przez punkt   P = (4 ; -2)  , zatem

-2 = 4a + b

czyli    b = - 4a - 2

=====================

Prosta musi mieć z okręgiem  jeden punkt współny

Rozwiązujemy układ  równań

 

x^2 + y^2 = 4

y = a x + b

-----------------------

Mamy

x^2 + ( a x + b)^2  = 4

x^2 + a^2 x^2 + 2a b x + b^2 - 4 = 0

( 1 +a^2) x^2  + 2 a b x + b^2 - 4 = 0

--------------------------------------------

delta = (2 a b)^2 - 4*(1 + a^2)*( b^2 - 4) =

= 4 a^2 b^2 - 4*( b^2 - 4 + a^2 b^2 - 4 a^ 2 ) =

= 4 a^2 b^2  - 4 b^2 + 16 - 4 a^2 b^2 + 16 a^2 =

= 16 a^2 - 4 b^2 + 16

------------------------------

Wstawiam za  b liczbę    ( - 4 a - 2 )

Mamy

delta = 16 a^2 - 4 *( - 4 a -2)^2 + 16 = 16 a^2 - 4*( 16 a^2 + 16 a + 4) + 16 =

= 16 a^2 - 64 a^2 - 64 a - 16 + 16 = - 48 a^2 - 64a = - 16 a *( 3a + 4)

Delta musi być równa 0 , by prosta miała jeden punkt wspólny z okręgiem, czyli

mamy

- 16 a *( 3a + 4) = 0

a = 0  lub   a = - 4/3

=====================

zatem

b = -4 *0  - 2 = - 2     lub   b = -4*( -4/3) - 2 = 16/3 - 6/3 = 10/3

==========================================================

 

y =  0*x + b  = b

czyli

Odp.

Równania  prostych stycznych do danego okręgu  przechodzących przez P = (4 ; -1)

to :

y =  - 2

i

y = ( -4/3) x + 10/3

=================