Question

Ze zbioru liczb (1,2,3,4,5,6,7,8,9) losujemy kolejno trzy razy po jednej liczbie zwracania i ustawiamy je w kolejności losowania otrzymując w ten sposób liczbę trzycyfrową . Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: a) otrzymana liczba trzycyfrowa będzie parzysta b) otrzymana liczba trzycyfrowa będzie mniejsza od 456 c) otrzymana liczba trzycyfrowa będzie większa od 654

Answer 1

Ważna kolejność losowania, więc liczymy wszystko regułą mnożenia (na kreskach).

 

Ω - losujemy trzykrotnie bez zwracania

Ω = 9 · 8 · 7 = 504

 

9 - losowaliśmy spośród wszystkich dziewięciu liczb

8 - po wylosowaniu pierwszej liczby zostało osiem do wyboru

7 - po wylosowaniu drugiej liczby w zbiorze pozostało 7 do wyboru

 

A - wylosowana liczba będzie parzysta, czyli na końcu będzie miała 2 lub 4 lub 6 lub 8 (cztery możliwości)

A = 8 · 7 · 4 = 224

 

w kolejności wstawiania:

4 - ostatnia cyfra jest losowana na cztery możliwości

8 - po wylosowaniu cyfry na ostatnie miejsce w zbiorze mamy 8 liczb

7 - po wylosowaniu liczby na pierwsze i ostatnie miejsce w zbiorze mamy dwie liczby mniej, czyli 7

 

P(A) = A : Ω = 224 : 504 = 4/9   ----> ułamek cztery dziewiąte

 

B - liczba < 456

kilka możliwości:

 

jeśli liczba będzie zaczynać się cyfrą 1,2 lub 3, to na pozostałych miejscach mogą być dowolne cyfry, zawsze będzie mniej niż 400

B₁ = 3 · 8 · 7 = 168

3 - jedna z cyfr spośród 1,2,3

8 - po wylosowaniu pierwszej cyfry w zbiorze jest jedna mniej, czyli 8

7 - po wylosowaniu dwóch pierwszych cyfr w zbiorze jest jeszcze jedna mniej, czyli 7

 

jeśli liczba będzie zaczynać się od 4, to na drugim miejscu mogą być cyfry1,2,3 lub 4, wtedy na trzecim może być wszystko. Największą liczbą i tak będzie 449.

B₂ = 1 · 4 · 7 = 28

1 - losujemy tylko czwórkę (jedna możliwość, bo w zbiorze 4 jest tylko jedna)

4 - losujemy spośród 1,2,3,4

7 - po wylosowaniu dwóch początkowych cyfr w zbiorze pozostało siedem

 

jeśli liczba będzie zaczynać się od 4, to na drugim miejscu może być jeszcze 5, ale wtedy na trzecim mogą być cyfry 1,2,3,4,5, największą liczbą będzie 455

B₃ = 1 · 1 · 5 = 5

1 - losujemy tylko czwórkę

1 - losujemy tylko 5

5 - losujemy jedną liczbę od 1 do 5

 

dodajemy wszystkie wyniki

B = 168 + 28 + 5 = 201

P(B) = 201 : 504 = 67/168

 

C - liczba >654

 

zacznijmy liczbę od 65, wtedy na trzecim miejscu możeby wybrać spośród 5,6,7,8,9. Najmniejsza możliwa to 655

C₁ = 1 · 1 · 5 = 5

1 - możliwa tylko szóstka

1 - możliwa tylko 5

5 - jedna z pięciu liczb (5,6,7,8,9)

 

zacznijmy liczbę od 6, na drugim miejscu umieśćmy liczby 6,7,8 lub 9, wtedy na trzecim może być wszystko. Najmniejsza możliwa to 661

C₂ = 1 · 4 · 7 = 28

1 - losujemy tylko 6

4 - jedna z liczb 6,7,8,9 czyli jedna z czterech

7 - ze zbioru wylosowano już dwie liczby, więc zostało siedem

 

zacznijmy liczbę od 7,8 lub 9, wtedy na drugim i trzecim miejscu może być wszystko. Najmniejsza możliwa to 711.

C₃ = 3 · 8 · 7 = 168

3 - jedna z trzech liczb (7,8,9)

8 - jedna z ośmiu liczb, bo jedną wylosowano przed chwilą

7 - ze zbioru wylosowano już 2 liczby

 

dodajemy możliwości

C = 5 + 28 + 168 = 201

P(c) = 201/504 = 67/168