Zd.1 Oblicz obwód sześciokąta foremnego opisanego na okręgu o promieniu długości 30 cm. Zd.2 Oblicz .... Question from @luca2468

August 2018 1 32 Report

Zd.1 Oblicz obwód sześciokąta foremnego opisanego na okręgu o promieniu długości 30 cm.

Zd.2 Oblicz pole trójkąta równobocznego opisanego na okręgu o promieniu długości 1 m.

Zd.3 Oblicz obwód:
a)sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 4 cm,
b) kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 8 cm,
c) trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o promieniu 2 cm.

Z góry dzięki za odpowiedzi ;))

unicorn05 Zad. 1. {zał.1. mniejszy (granatowy) okrąg}
Dłuższe przekątne sześciokąta foremnego dzielą ten sześciokąt na sześć jednakowych trójkątów równobocznych.
Wysokość takiego trójkąta jest promieniem okręgu, na którym opisano ten sześciokąt.
   $r=h=\frac{a\sqrt3}{2}$
Stąd:
   $\frac{a\sqrt3}{2}=30\qquad /\cdot2\\\\ a\sqrt3=60\qquad/:\sqrt3\\\\ a=\frac{60}{\sqrt3}=\frac{60}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{60\sqrt3}{3}=20\sqrt3\ cm$
Obwód sześciokąta to suma wszystkich jego sześciu boków (6·a)

Obw. = 6a = 6·20√3 cm = 120√3 cm

Zad. 2. {zał. 2. większy (granatowy) trójkąt}
Środek okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny (czyli środek okręgu, na którym opisano trójkąt równoboczny) znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego trójkąta.
Promień tego okręgu jest równy ¹/₃ wysokości trójkąta.
Wysokość w trójkącie równobocznym:
   $h=\frac{a\sqrt3}2$
Czyli:
   $R=\frac13h=\frac13\cdot\frac{a\sqrt3}2=\frac{a\sqrt3}6$
Stąd:
      $\frac{a\sqrt3}6=1\qquad/\cdot2\sqrt3\\\\ \frac{a\sqrt3\cdot2\sqrt3}6=2\sqrt3\\\\\frac{a\cdot2\cdot3}6=2\sqrt3\\\\a=2\sqrt3\ m$
Pole trójkąta równobocznego to:
      $P=\frac{a^2\sqrt3}4\\\\\\P=\frac{(2\sqrt3)^2\sqrt3}4=\frac{4\cdot3\cdot\sqrt3}4=3\sqrt3\ m^2$

Zad. 3.
a) {zał.1. większy (niebieski) okrąg}
Dłuższe przekątne sześciokąta foremnego dzielą ten sześciokąt na sześć jednakowych trójkątów równobocznych.
Bok takiego trójkąta jest promieniem okręgu, w który wpisano ten sześciokąt.
a = R = 4 cm
Obwód sześciokąta to suma wszystkich jego sześciu boków (6·a)

Obw. = 6a = 6·4 = 24 cm

b) {zał. 2.}
Przekątna kwadratu wpisanego w okrąg jest jednocześnie średnicą tego okręgu.
   d = 2r
Przekątna kwadratu to: d = a√2
Czyli:
    $a\sqrt2=2r\\\\a\sqrt2=2\cdot8\qquad/:\sqrt2\\\\ a=\frac{16}{\sqrt2}=\frac{16}{\sqrt2}\cdot \frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{16\sqrt2}{2}=8\sqrt2\ cm\\\\\\ Obw.=4a=4\cdot8\sqrt2=32\sqrt2\ cm$

c) {zał.2. mniejszy (niebieski) trójkąt}
Środek okręgu, w który wpisano trójkąt równoboczny znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego trójkąta.
Promień tego okręgu jest równy ²/₃ wysokości trójkąta.
Wysokość w trójkącie równobocznym:
   $h=\frac{a\sqrt3}2$
Czyli:
      $R=\frac23h=\frac23\cdot\frac{a\sqrt3}2=\frac{a\sqrt3}3$
Stąd:
   $\frac{a\sqrt3}3=2\qquad/\cdot\sqrt3\\\\ \frac{a\sqrt3\cdot\sqrt3}3=2\sqrt3\\\\\frac{a\cdot3}3=2\sqrt3\\\\a=2\sqrt3\ cm$

Obw. = 3·2√3 = 6√3 cm

3 votes Thanks 7