Zbadaj zbieżność następujących szeregów: 1) (znak sumy przy n=1) ( ) 2) (znak sumy przy n=1) Zależ.... Question from @Laverus

Paawełek Ach, już wiem....!:)
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\cos \frac{1}{n+1}-\cos \frac{1}{n})= \\ =\cos \frac{1}{2}-\cos 1+\cos \frac{1}{3}-\cos \frac{1}{2}+\cos \frac{1}{4}-\cos \frac{1}{3}+...+ \\ +\cos \frac{1}{n}-\cos \frac{1}{n-1} + \cos \frac{1}{n+1}-\cos \frac{1}{n} = -\cos 1 +\cos \frac{1}{n+1}$
GDzie n -> nieskończoności
Napisałem ten wynik, ponieważ zauważ, że kosinusy się tam powtarzają i się odejmują więc się skracają. Jedyny kosinus który się nie skróci to cos 1 oraz cos 1/(n+1). skoro n-> nieskońcozność to:
$\cos \frac{1}{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty} \cos \frac{1}{n+1}=[\cos \frac{1}{\infty}]=\cos 0 =1$
Zatem szereg jest zbieżny, jeżeli od razu policzyłem Ci nawet dokładną sumę, która wynosi 1- cos1

No bo w zadaniu 2 rzecz jest bardzo prosta...
Szereg nie spełnia warunku koniecznego, ponieważ:
$\lim\limits_{n\to\infty} (n^2 \cdot \sin \frac{2}{n} \cdot \tan \frac{5}{n})=\lim\limits_{n\to\infty} (n^2 \cdot \frac{2}{n} \cdot \frac{5}{n})=\lim\limits_{n\to\infty} (n^2 \cdot \frac{10}{n^2})=10 \neq 0$
Więc od razu piszę że jest rozbieżny.

Wyjaśnię jeszcze dlaczego w granicy wpisałem 2/n w przypadku granicy sin (2/n).
Ze wzoru:
$\lim\limits_{n\to 0} \frac{\sin n}{n} =1 \\ \hbox{Skad:} \\ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sin \frac{2}{n}}{\frac{2}{n}}=1 \\ \hbox{Mnozac przez} \ \ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{2}{n} \ \ \hbox{Od razu otrzymuje:} \\ \lim\limits_{n\to\infty} \sin \frac{2}{n}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{2}{n}$

Z tangensem jest analogicznie.

1 votes Thanks 2

Proszę o pomoc z analizy

Niech A oznacza zbiór rozwiązań nierówności Natomiast B - zbiór rozwiązań nierówności . Wypisz elementy zbiorów A i B. Wyznacz zbiory: , , A-B, B-A.

Potrzebuję bardzo pilnie.1. Dla jakich wartości parametru m(m należy do liczb rzeczywistych) dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, jeśli:2. Wyznacz dziedzinę funkcji wymiernej F, jeśli:

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social