Question

Zbadaj przebieg zmiennosci funkcji:

Answer 1

  y = x³ + 3x² - 9x - 2
1.
D = R
Brak punktów nieciągłości oznacza brak asymptot pionowych

2.

czyli brak asymptot poziomych

3.

czyli brak asymptot ukośnych

4.
Punkt przecięcia z osią OY [f(0)]:        y = 0³ + 3·0² - 9·0 - 2 = -2
Punkt przecięcia z osią OX (miejsca zerowe):
x³ + 3x² - 9x - 2= 0
x³ - 2x² + 5x² - 10x + x - 2 = 0
x²(x-2) + 5(x-2) + (x-2) = 0
(x - 2)(x² + 5x + 1) = 0
x - 2 = 0   ∨    x² + 5x + 1 = 0
x = 2              Δ = 25 - 4 = 21 



5.
f(x) = x³ + 3x² - 9x - 2
-f(x) = -x³ - 3x² + 9x + 2
f(-x) = (-x)³ + 3·(-x)² - 9·(-x) - 2 = -x³ + 3x² + 9x - 2
f(-x) ≠ f(x)    ⇒    funkcja nie jest parzysta
f(-x) ≠ -f(x)   ⇒    funkcja nie jest nieparzysta

6.
f'(x) = (x³ + 3x² - 9x - 2)' = 3x² + 6x - 9



7.
y' = 0
3x² + 6x - 9 = 0    /:3
x² + 2x - 3 = 0
x² - x + 3x - 3 = 0
x(x - 1) + 3(x - 1) = 0
(x - 1)(x + 3) = 0
Miejsca zerowe pierwszej pochodnej:  x = 1  lub  x = -3

8.
(x - 1)(x + 3) > 0    ⇔    x ∈ (-∞ ; -3)∨(1 ; ∞)
y↑  ⇔  y' > 0   ⇔   x ∈ (-∞ ;  -3)∨(1 ; ∞)

(x - 1)(x + 3) < 0   ⇔  x ∈ (-3 ; 1)
y↓  ⇔  y' < 0  ⇔  x ∈ (-3 ; 1)

9.
y↑ w (-∞ ; -3)  ∧  y↓ w (-3 ; 1)    ⇒    dla  x = -3   funkcja ma maksimum lokalne
y↓ w (-3 ; 1)  ∧    y↑  w  (1 ; ∞)   ⇒  dla  x = 1   funkcja ma minimum lokalne

10.
y'' = (3x² + 6x - 9)' = 6x + 6


11.
y'' = 0      ⇔    6x + 6 = 0    ⇔    x = -1

12.
y'' > 0    ⇔    x > -1
y'' < 0    ⇔    x < -1
czyli  x = -1 jest punktem przegięcia funkcji

tabelka i wykres w załącznikach