Zbadaj na 3 przykładach przebieg zmienności funkcji z narysowanym wykresem kiedya) występuje tylko a.... Question from @tomgr41

tomgr41 @tomgr41

October 2018 1 51 Report

Zbadaj na 3 przykładach przebieg zmienności funkcji z narysowanym wykresem kiedy

a) występuje tylko asymptota pionowa

b) wystepuje tylko asymptota pozioma

c) występuje tylko asymptota ukośna

Muszę to znaleźć

1. dziedzina

2. asymptoty funkcji

3. Zbiór wartości

4. Punkty przecięcia z OX i OY

5. Wykres

hhtp

$>1) <img src=$

pionowa :

$lim_{x\to 1^+} \frac{x^3}{x-1} = [\frac{1}{0^+}] = +\infty\\ lim_{x\to 1^-} \frac{x^3}{x-1} = [\frac{1}{0^-}] = -\infty\\$

istnieje asymptota pionowa x=1

pozioma :

$lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{x-1} = lim_{x\to\infty} \frac{x^2}{1-\frac{1}{x}} = +\infty\\ lim_{x\to-\infty}\frac{x^3}{x-1} = lim_{x\to-\infty} \frac{x^2}{1-\frac{1}{x}} = +\infty$

brak asymptoty poziomej

asymptota ukośna :

$lim_{x\to \infty} \frac{x^3}{x^2-x} = lim_{x\to \infty} \frac{x}{1-\frac{1}{x}} = +\infty\\ lim_{x\to- \infty} \frac{x^3}{x^2-x} = lim_{x\to- \infty} \frac{x}{1-\frac{1}{x}} = -\infty$

brak asymptoty ukośnej

przecięcie z osią OX :

$0=\frac{x^3}{x-1}\\ 0=x^3\\ x=0\\ (0,0)$

przecięcia z osią OY :

$y=\frac{0^3}{0-1} = 0\\ (0,0)$

wykres w załączniku - asymptota pionowa na zielono jest

$f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$

$x^2 +1\neq 0\\ x^2 \neq -1\\ x\in\Re$

brak asymptoty pionowej - bo nie ma punktów wyrzuconych z dziedziny

asymptota pozioma :

$lim_{x\to \infty} \frac{x^2}{x^2+1} = lim_{x\to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}} = 1\\ lim_{x\to -\infty} \frac{x^2}{x^2+1} = lim_{x\to- \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}} = 1$

asymptota piozoma to y=1

skoro istnieje pozioma to znaczy, że nie ma ukośnej

$0=\frac{x^2}{x^2+1}\\ x^2=0\\ x=0\\ (0,0)\\ y=\frac{0^2}{0^2+1}=0\\ (0,0)$

5) wykres w załączniku

$f(x) = \frac{x^3}{x^2+1}$

$x^2+1\neq 0\\ x^2\neq -1\\ x\in\Re$

brak asymptoty pionowej, bo nie ma punktów wyrzuconych z dziedziny

asymptota pozioma :

$lim_{x\to \infty} \frac{x^3}{x^2+1} = lim_{x\to \infty} \frac{x}{1+\frac{1}{x^2}} = +\infty\\ lim_{x\to -\infty} \frac{x^3}{x^2+1} = lim_{x\to -\infty} \frac{x}{1+\frac{1}{x^2}} = -\infty$

brak asymtpty poziomej

asymptota ukośna :

$a=\lim_{x\to \infty} \frac{x^3}{x^3+x} = \lim_{x\to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}} = 1\\ b=\lim_{x\to \infty} ( \frac{x^3}{x^2+1} -x)=\lim_{x\to \infty} \frac{x^3-x^3-x}{x^2+1} =\\ =\lim_{x\to \infty} \frac{-x}{x^2+1} = \lim_{x\to \infty} \frac{-1}{x+\frac{1}{x}}=0\\ y=ax+b\\ y=x$

$a=\lim_{x\to -\infty} \frac{x^3}{x^3+x} = \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}} = 1\\ b=\lim_{x\to-\infty} ( \frac{x^3}{x^2+1} -x)=\lim_{x\to -\infty} \frac{x^3-x^3-x}{x^2+1} =\\ =\lim_{x\to - \infty} \frac{-x}{x^2+1} = \lim_{x\to - \infty} \frac{-1}{x+\frac{1}{x}}=0\\ y=ax+b\\ y=x$

asymptota ukośna to y=x

$0=\frac{x^3}{x^2+1}\\ 0=x^3\\ x=0\\ (0,0)\\ y=\frac{0^3}{0^2+1}=0\\ (0,0)$

5) wykres w załączniku

wzory na asymptoty :

Jeżeli krzywa jest postaci $y=f(x)$ , gdzie f jest funkcją nieokreśloną w punkcie x=a, to ma w tym punkcie asymptotę pionową, jeżeli istnieje granica niewłaściwa (czyli wynik granicy to nieskończoność/ - nieskończoność) :

$lim_{x\to a^+} f(x) = \pm \infty - prawostronna\\ lim_{x\to a^-} f(x) = \pm \infty - lewostronna \\ lim_{x\to a^+} f(x) = \pm \infty \wedge lim_{x\to a^- } f(x) = \pm \infty - obustronna$