Question

Zbadaj monotoniczność ciągu (an) o wyrazie ogólnym :

an=((n+1)!-n!):((n+1)!+n!)

Answer 1

1. n-silnia (n!)

Silnia - funkcja która przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej n liczbę n!, określoną wzorem:

2. Monotoniczność ciągu.

By stwierdzić monotnoniczność ciągu należy zbadać różnicę pomiędzy dwoma kolejnymi wyrazami ciągu:

W zależności od wyniku ciąg może być:

-- malejący, gdy a(n+1)-an<0

-- stały, gdy a(n+1)-an=0

-- rosnący, gdy a(n+1)-an>0

================================================================

1. "Upraszczam" wzór ogólny ciągu:

--------------------------------------------

2. Badam monotoniczność:

-- licznik jest liczbą naturalną większą od zera

-- mianownik to iloczyn dwóch liczb naturalnych, czyli również jest większy od zera

Wniosek: Ciąg jest rosnący.

[n∈N]