Question

Zbadaj krotnosc pierwiastka x=-3 wielomianu x^5 + 6x^4 + 9x^3 + 5x^2 + 30x + 45 , jak mam to zbadac?

Answer 1

Wzory skróconego mnożenia:

(a+b)²=a²+2ab+b² - kwadrat sumy;

(a-b)²=a²-2ab+b² - kwadrat różnicy;

a²-b²=(a-b)(a+b) - różnica kwadratów;

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ - sześcian sumy;

(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ - sześcian różnicy;

a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) - suma sześcianów;

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) - różnica sześcianów.

===================================

W(x)=x⁵+6x⁴+9x³+5x²+30x+45

Sprawdzam czy x=-3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x):

W(-3)=(-3)⁵ + 6*(-3)⁴ + 9*(-3)³ + 5*(-3)² + 30*(-3) + 45

W(-3)=-243 + 6*81 + 9*(-27) + 5*9 + (-90) +45

W(-3)=-234 + 486 + (-243) + 45 + (-45)

W(-3)=0

Liczba x=-3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)

===================================

1. Sposób - grupowanie wyrazów:

W(x)=0

x⁵+6x⁴+9x³+5x²+30x+45=0

x³(x²+6x+9)+5(x²+6x+9)=0

(x³+5)(x²+6x+9)=0

(x+∛5)(x²+x∛5+∛25)(x+3)²=0

x+∛5=0  lub  x²+x∛5+∛25=0  lub  (x+3)²=0

 x=-∛5                brak                      x=-3

x=-3  - pierwiastek podwójny.

[Krotność pierwiastka ustala się na podstawie potęgi, bo wyrażenie (x+3)²=(x+3)(x+3) - czyli liczba x=-3 jest rozwiązaniem dla obu nawiasów]

[x²+x∛5+∛25  - wyrażenie jest nierozkładalne - niepełny kwadrat sumy]

===================================

2. Sposób - dzieląc wielomian W(x) przez dwumian x-p (gdzie p=-3):

[W ten sposób, jeśli się nie zauważy, że można pogrupować wyrazy wielomianu, obniżam jego stopień]

(x⁵+6x⁴+9x³+5x²+30x+45):(x+3)=x⁴+3x³+5x+15

-x⁵-3x⁴

--------

     3x⁴+9x³+5x²+30x+45

   -3x⁴-9x³

  -----------

               5x²+30x+45

              -5x²-15x

             ------------

                     15x+45

                    -15x-45

                    -----------

                              0

 

W(x)=(x⁴+3x³+5x+15)(x+3)

[Dalej można przeprowadzić kolejne dzielenie lub pogrupować wyrazy]

W(x)=[x³(x+3)+5(x+3)](x+3)

W(x)=[(x³+5)(x+3)](x+3)

W(x)=(x³+5)(x+3)(x+3)

(x³+5)(x+3)(x+3)=0

x+3=0  lub  x+3=0  lub  x³+5=0 

 x=-3            x=-3          [rozpisane w poprzednim]

Czyli x=-3 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu.