Zbadaj ekstrema funkcji: f(x,y)= + lnx + lny.... Question from @Griszka34

Griszka34 @Griszka34

January 2019 1 45 Report

Zbadaj ekstrema funkcji:
f(x,y)= $\frac{3}{x} + \frac{1}{y}$ + lnx + lny

Roma $f(x,y)= \frac{3}{x} + \frac{1}{y} + ln(x) + ln(y)$

Dziedzina:
$D = \{(x;y) \in R^2: x\ \textgreater \ 0 \ \wedge \ y\ \textgreater \ 0\}$
(Wyrażenia w mianowniku muszą być różne od zera, a liczby logarytmowane większe od zera)

Obliczamy pochodne pierwszego rzędu:
$f'_x = - \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x} = - \frac{3}{x^2} + \frac{x}{x^2} = \frac{-3+x}{x^2} = \frac{x-3}{x^2} \\\\ f'_y = - \frac{1}{y^2} + \frac{1}{y} = - \frac{1}{y^2} + \frac{y}{y^2} = \frac{-1+y}{y^2} = \frac{y-1}{y^2}$

Przyrównujemy te pochodne do zera i tworzymy układ równań, który rozwiązujemy:
$\left \{ {{\frac{x-3}{x^2}=0 \ / \cdot x^2} \atop {\frac{y-1}{y^2}=0 \ / \cdot y^2}} \right. \\\\
\left \{ {{x-3=0} \atop {y-1=0}} \right. \\\\
\left \{ {{x= 3 \ \in \ D} \atop {y=1 \ \in \ D}} \right.$

Punkt stacjonarny: P = (3; 1)

Obliczamy pochodne drugiego rzędu:
$f"_{xx}= \frac{1 \cdot x^2 - (x-3) \cdot 2x}{(x^2)^2} =\frac{x^2 - 2x^2+6x}{x^4} = \frac{6x-x^2}{x^4} = \frac{x \cdot (6-x)}{x^4} = \frac{6-x}{x^3} \\\\
f"xy= 0\\\\
f"_{yy}= \frac{1 \cdot y^2 - (y-1) \cdot 2y}{(y^2)^2} =\frac{y^2 - 2y^2+2y}{y^4} = \frac{2y-y^2}{y^4} = \frac{y \cdot (2-y)}{y^4} = \frac{2-y}{y^3} \\\\
f"_{yx}=0$

Z otrzymanych pochodnych tworzymy wyznacznik:
$W(x; y) = \begin{vmatrix} \frac{6-x}{x^3}&0\\0&\frac{2-y}{y^3}\end{vmatrix}$

Obliczamy wyznacznik W dla punktu stacjonarnego:
$W(P) = W(3; 1) = \begin{vmatrix} \frac{6-3}{3^3}&0\\0&\frac{2-1}{1^3}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \frac{3}{27}&0\\0&\frac{1}{1}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \frac{1}{9}&0\\0&1\end{vmatrix}= \frac{1}{9} \cdot 1 - 0 \cdot 0 = \frac{1}{9}$

$W(P) = \frac{1}{9}\ \textgreater \ 0$ , zatem w punkcie P = (3; 1) jest ekstremum

Sprawdzamy jakie ekstremum jest w punkcie P = (3; 1):
$f"_{xx}(P)= f"_{xx}(3; 1)= \frac{6-3}{3^3} = \frac{3}{27}= \frac{1}{9}$

$f"_{xx}(P)= \frac{1}{9} \ \textgreater \ 0$ , zatem w punkcie P = (3; 1) funkcja ma minimum

Obliczamy minimum korzystając ze wzoru funkcji:
$f(x,y)= \frac{3}{x} + \frac{1}{y} + ln(x) + ln(y) \\\\
f(P) = f(3;1)= \frac{3}{3} + \frac{1}{1} + ln(3) + ln(1)=1+1+ln(3) + 0 = 2 + ln(3)$

Odp. Funkcja f osiąga minimum lokalne w punkcie (3; 1):
$f_{min}(3;1) =2 + ln(3)$

2 votes Thanks 1

More Questions From This User See All

Griszka34 February 2019 | 0 Replies

Napisz dehydratację w obecności kwasu i temp. 2-metylopentan-3-olu

Griszka34 February 2019 | 0 Replies

Excell: Czy ktoś potrafi zrobić wykres słupkowy (w moim przypadku chodzi mi o zakres temperatur) tylko nie żeby zaczynał się od zera jak zwykle, bo na przykład temperaturę początkową mam 112 stopni Celsjusza, a końcową 114. Umie ktoś to wytłumaczyć lub zrobić mi przykład? Podam dane i zakres temperatur. Nazwa; zakres temperatur KC; 131,6-134,5 KC:KM=1:3; 95,4-118,8 KC:M=1:1; 97,8-107,9 KC:M=3:1; 96,3-112 M; 130,8-135,9

Griszka34 January 2019 | 0 Replies

Podaj równania stanu gazu doskonałego wraz z wymiarami.

Griszka34 January 2019 | 0 Replies

Czy termoformowanie i hotforming to to samo?

Griszka34 January 2019 | 0 Replies

Znajdź całkę szczególną równania y' - y/x = x. Spełniającą warunek ysz(2) = -2

Griszka34 January 2019 | 0 Replies

Jak zmienić ten program, aby użytkownik sam mógł wpisywać dane do liczenia pól figur? Zadanie musi być zrobione z klas, jest to programownie w c++. Poniżej zamieszczam to co udało mi się zrobić, proszę o przekształcenie, daję naj i dużo punktów. #include #include using namespace std; class Kwadrat{ float a; public: Kwadrat(float x){ a=x; } void pole(){ cout<<"Pole Kwadratu: "< } }; class Kolo{ float r; public: Kolo(float x){ r=x;; } void pole(){ cout<<"Pole kola: "< } }; class Prostokat{ float a,b; public: Prostokat(float x, float y){ a=x;b=y; } void pole(){ cout<<"Pole Prostokatu: "< } }; int main() { Kolo k(1); Kwadrat kw(2); Prostokat p(3,2); k.pole(); kw.pole(); p.pole(); }

Griszka34 January 2019 | 0 Replies

Programowanie w c++ : Temat: Wskaźniki, funkcje, przeładowania funkcji, referencje. Treść: Napisz program (z użyciem funkcji) który wypełni losowo wybranymi elementami z zakresu 1 do 50 macierz kwadratową (o rozmiarze wczytanym z klawiatury) oraz policzy: (a) sumę elementów na diagonali, (b) iloczyn tej macierzy przez liczbę skalarną, (c) iloczyn tej macierz przez samą siebie. Nie zapomnij o wypisaniu macierzy wynikowej

Griszka34 January 2019 | 0 Replies

Jak zmieni sie energia ciala przyspieszonego do predkosci 0,5c. (Mechanika relatywistyczna)

Griszka34 January 2019 | 0 Replies

Co oznacza taki zapis Ф75H7 dla otworu wewnętrznego i Ф12H9. Jakiej wielkości średnice mam rysować w rysunku zestawieniowym?

Griszka34 January 2019 | 0 Replies

Znajdź wersor w wektora u = (-1,3,0,1)

Recommend Questions

user7521 October 2020 | 0 Replies

Na loterii jest 10 losów wygrywających i 20 losów przegrywających. Ile losówgrywających należy dodać, aby prawdopodobieństwo wygranej zmniejszyło się do 1/5 ? wiem ze to bedzie 20 ale nie wiem jakie obliczenia

amelkaskoczylas October 2020 | 0 Replies

Pomocy! Zadanie 7!!! Na teraz

starfiuqa October 2020 | 0 Replies

Poloncz równe ułamki

abcebqjfj October 2020 | 0 Replies

uzupełnij zdanie zamiast kropek wpisz większy lub mniejszy a) zaokrąglenie liczby 8,149 do części dziesiętnych jest......... od tej liczby b)zaokrąglenie liczby 284 do dziesiatek jest......... od tej liczby

ola737626 October 2020 | 0 Replies

BŁAGAM POMÓŻCIE PLIIIISSSSSSSS ❤️❤️❤️ DAJE ❤️ I NAJ!!!!!! BĘDĘ WDZIĘCZNA PLISSSSSSSSS...W tabeli (w załączniku) podano wyniki zakończonego sezonu szkolnej ligi piłkarskiej każda z drużyn rozegrała 10 meczów. Za wygrany mecz otrzymywała 3 punkty za remis 1 punkt a za porażkę 0 punktówWykonaj polecenie i napisz działanie Niebiescy w 10 meczach zdobyli 26 punktów. Ile razy odnieśli zwycięstwo A ile razy zremisowali

martimisu October 2020 | 0 Replies

proszę o szybką pomoc!

Missaaaa October 2020 | 0 Replies

Oblicz DAJE NAJMatematyka PROSZĘ o szypka odpowiedź Na dzisiaj

radziszewska2115 October 2020 | 0 Replies

Zrobi ktoś ? prosze pilne na jutrro!!

jhjhkjl456362 October 2020 | 0 Replies

Oblicz i odpowiedź podaj w najprostszej postaci. Podaj dziedzinę. Bardzo proszę o szybką odpowiedź! Zad w załączniku

0904Bd October 2020 | 0 Replies

Proszę o rozwiązanie zadania nr 8

Terms of Service

Life Enjoy

" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "

Get in touch

Social

© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.