Question

Zadanie z matematyki

Answer 1

Figura F będzie miała największe pole równe 1200cm² wtedy, kiedy x = 20cm.

Optymalizacja

Dany jest kwadratowy arkusz blachy o boku 60cm, z którego należy odciąć dwa kwadraty o boku x oraz dwa trójkąty prostokątne równoramienne, w efekcie otrzymując figurę F.

Pole kwadratu do odcięcia z arkusza wyraża się wzorem:

[tex]P_{k}=x^2[/tex]

Przyprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość (60-x)cm. Pole tego trójkąta wyraża się wzorem:

[tex]P_t=\dfrac{(60-x)^2}2\\[/tex]

Pole figury F można zatem opisać równaniem:

[tex]P_F=60^2-2x^2-2\!\!\!\!\diagup^1\cdot\dfrac{(60-x)^2}{2\!\!\!\!\diagup_1}\\\\P_F=3600-2x^2-(60-x)^2\\\\P_F=-2x^2-(3600-120x+x^2)+3600\\\\P_F=-2x^2-3600+120x-x^2+3600\\\\P_F=-3x^2+120x[/tex]

Funkcja opisująca pole figury F w zależności od długości boku odciętego kwadratu ma postać:

[tex]f(x)=-3x^2+120x[/tex]

Należy zauważyć, że współczynnik a funkcji kwadratowej jest ujemny, zatem ramiona tej funkcji są skierowane w górę. Funkcja osiąga więc swoje maksimum w wierzchołku tej funkcji. Współrzędne wierzchołka określą zatem wartość boku odciętego kwadratu, dla którego pole figury F będzie największe, a także wartość tego pola.

[tex]\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}\thicklines\put(0,0){\vector(1,0){5}}\qbezier(2,-2)(2.5,5)(3,-2)\put(2.5,1.5){\circle*{.2}$W$}\end{picture}[/tex]

Wyznaczamy wyróżnik funkcji:

[tex]\Delta=120^2-4\cdot (-3)\cdot 0\\\\\Delta=120^2=14400\\\\\sqrt{\Delta}=120[/tex]

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka funkcji:

[tex]x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-120}{2\cdot (-3)}=\dfrac{-120}{-6}=20\\\\y=\dfrac{-\Delta}{4a}=\dfrac{-14400}{4\cdot (-3)}=\dfrac{-14400}{-12}=1200[/tex]

Figura F będzie miała największe pole równe 1200cm² wtedy, kiedy x = 20cm.