Question

Zadanie z arkusza rozszerzonego matury z mat

Wykaż , że iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych zwiększony o 1 jest kwadratem pewnej liczby naturalnej.

podpowiedź

oznacz cztery kolejne liczby naturalne, n,n+1,n+2,n+3 nEN
zapisz wyrażenie n(n+1)(n+2)(n+3)+1 wykonaj mnożenie i dodawanie następnie zastanów się jaką postać musi mieć wyrażenie aby po podniesieniu do kwadratu było równe otrzymanej sumie .

Answer 1

N(n+1)(n+2)(n+3)+1=n(n²+3n+2)(n+3)+1=(n²+3n+2)(n²+3n)+1
zastąpny wyrażenie n²+3n zmienną x
czyli:
(n²+3n+2)(n²+3n)+1=(x+2)x+1=x²+2x+1=(x+1)²=(n²+3n+1)²

zatem szukanym wyrażeniem jest liczba n²+3n+1

Answer 2

Zał: n - l. naturalna

n(n+1)(n+2)(n+3)+1=p^2
(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1=p^2

zauważmy, że to:
(n^2+3n)^ 2 + 2(n^2+3n) +1 = p^2
((n^2+3n)+1)^2 = p^2

pierwiastkujemy:
p = (n^2+3n)+1 = n^2+3n +1

wiemy, że jest to liczba naturalna, ponieważ jest sumą liczb naturalnych

Answer 3

Kolejne liczby naturalne:
n
n+1
n+2
n+3
Iloczyn:
n(n+1)(n+2)(n+3)=n(n²+2n+n+2)(n+3)=n(n²+3n+2)(n+3)=
=(n²+3n+2)n(n+3)=(n²+3n+2)(n²+3n)

zauważmy, że w obu nawiasach występuje ta sama suma: n²+3
stosujemy podstawienia:

k=n²+3n

i mamy:
(k+2)k=k²+2k

iloczyn powiększony o 1:
k²+2k+1

ze wzoru skróconego mnożenia:
k²+2k+1=(k+1)²

wracając do k=n²+3n:
(n²+3n+1)²

Szukana liczbą jest: n²+3n+1