Question

Zadanie: Wykaż, że ciąg (An) jest rosnący, a (Bn) malejący a) An = n^2 + 3n - 10 Bn = -5n^2 + 10 ( n^2 - to oznacza - n do potęgi 2 ) czekam na szybkie rozwiązania przykładu :>

Answer 1

Żeby zbadać czy ciąg jest malejący trzeba obliczyć An+1
Niech n <nalezy> do N+
tak więc liczymy: An+1= (n+1)^2 +3(n+1) -10 = n^2+2n+1+3n+3-10=n^2+5n-6
badam znak różnicy:
An+1 -An= n^2+5n-6 -n^2 -3n+10= 2n+4 >0 bo n należy do N+ czyli ciąg jest rosnący

Analogicznie drugi:
Bn+1=-5(n+1)^2 +10= -5(n^2+2n+1)+10 = -5n^2 -10n -5 +10= -5n^2 - 10n +5
badamy znak różnicy
Bn+1-Bn=-5n^2 -10n+5 +5n^2 -10 = -10n - 5<0 bo n należy do N+ zatem ciąg jest malejący

Answer 2

a)

Ciąg (an) jest rosnący jeśli każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego, czyli gdy

 

Zatem ciąg (an) jest rosnący, bo dla dowolnego n ∈ N⁺

 

b)

Ciąg (an) jest malejący, jeśli każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, czyli gdy

 

Zatem ciąg (bn) jest rosnący, bo dla dowolnego n ∈ N⁺