Zadanie w załączniku (10.142).... Question from @kamil2001i

Louie314

Odpowiedź:

$V=\frac{108}{529} \pi R^{3}\sqrt{3}$

Szczegółowe wyjaśnienie:

Rysunek w załączniku.

Zauważmy, że przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym, więc wysokość stożka jest równa $R\sqrt{3}$ . Ustalmy:

$V$ - suma objętości brył wpisanych w stożek,

$V_{w}$ - objętość walca,

$V_{k}$ - objętość kuli,

$h$ - wysokość walca,

$r_{w}$ - promień walca,

$r_{k}$ - promień kuli.

Naszym zadaniem jest obliczyć maksymalną objętość, zatem:

$V=V_{w}+V_{k}=\pi r_{w}^{2}h+\frac{4}{3}\pi r_{k}^{3}$

W tym celu utworzymy funkcję zmiennej $h$ . Na początek wyrazimy $r_{w}$ oraz $r_{k}$ za pomocą $h$ i $R$ .

Z podobieństwa trójkątów $CKB$ oraz $CJG$ mamy:

$\frac{R\sqrt{3} }{R\sqrt{3}-h } =\frac{R}{r_{w}} \iff r_{w}=\frac{R\sqrt{3}-h }{\sqrt{3} }$

Z podobieństwa trójkątów $CKB$ oraz $CHS$ mamy:

$\frac{2R}{R\sqrt{3}-r_{k}-h }=\frac{R}{r_{k}} \iff r_{k}=\frac{R\sqrt{3}-h }{3}$

Zatem:

$V_{w}=\pi h(\frac{R\sqrt{3} -h}{\sqrt{3} } )^{2}\\V_{k}=\frac{4}{3} \pi (\frac{R\sqrt{3}-h }{3 } )^{3}$

Stąd:

$V=\pi h(\frac{R\sqrt{3} -h}{\sqrt{3} } )^{2}+\frac{4}{3} \pi (\frac{R\sqrt{3}-h }{3 } )^{3}$

Teraz rozważymy funkcję zmiennej $h$ :

$V(h)=\pi h(\frac{R\sqrt{3} -h}{\sqrt{3} } )^{2}+\frac{4}{3} \pi (\frac{R\sqrt{3}-h }{3 } )^{3}$ dla $0$ .

Obliczamy jej pochodną:

$V'(h)=\pi h^{2}-\frac{4\sqrt{3}\pi hR }{3} +\pi R^{2}-\frac{4}{27} \pi (R\sqrt{3}-h)^{2} =-\frac{1}{27}\pi (23h-5\sqrt{3}R)(R\sqrt{3} -h)$

Zerujemy ją:

$-\frac{1}{27}\pi (23h-5\sqrt{3}R)(R\sqrt{3} -h)=0\\ (23h-5\sqrt{3}R)(R\sqrt{3} -h)=0\\h=\frac{5}{23}\sqrt{3}R \vee h=R\sqrt{3} \notin D$

Dla $h=\frac{5}{23}\sqrt{3}R$ objętość wynosi:

$V(\frac{5}{23}\sqrt{3}R)= \frac{5}{23}\sqrt{3}R \pi(\frac{R\sqrt{3}-\frac{5}{23}\sqrt{3}R }{\sqrt{3} } )^{2}+\frac{4}{3}\pi (\frac{R\sqrt{3}-\frac{5}{23}\sqrt{3}R }{3} )^{3} =\frac{5}{23}\sqrt{3}R\pi \cdot (\frac{18}{23}R)^{2}+\frac{4}{3}\pi \cdot (\frac{6}{23}\sqrt{3}R )^{3}=\frac{1620R^{3}\pi \sqrt{3} }{12167} +\frac{864R^{3}\pi \sqrt{3} }{12167}=\frac{108}{529} \pi R^{3}\sqrt{3}$

1 votes Thanks 1

lukaszch07p2rzss

Odpowiedź:

$V_{max}(\frac{18\cdot R}{23} )=\frac{108\sqrt{3}\pi \cdot R^3 }{529} \approx1,1109\cdot R^3$

Szczegółowe wyjaśnienie:

Tworzymy zmienną, która ułatwi opis objętości.

Przyjmijmy, że promień podstawy walca to $x$ taki, że $x\in\mathbb{R}:x>0$

Aby uzależnić objętość tylko od utworzonej zmiennej należy wyznaczyć odpowiednie wielkości bazując na rysunku. Wystarczy nam analiza przekroju poprzecznego zawierającego wysokość stożka. Widzimy tutaj trójkąt równoboczny. W prosty sposób jesteśmy w stanie wyznaczyć kąt między tworzącą a podstawą.

$\alpha =\mathrm{arccos}(\frac{R}{2R} )=60^{\circ}$

Musimy obliczyć również wysokość walca, w tym celu obliczamy długość jednego z odcinków, które pozostaną po odjęciu promienia walca od promienia stożka:

$R-x$

Teraz korzystamy z zależności w trójkącie prostokątnym i zapisujemy wysokość walca jako

$\mathrm{tg}(60^\circ)\cdot(R-x)=\sqrt{3} \cdot(R-x)$

Poddając dalszej analizie nasz przekrój poprzeczny zauważamy koło wpisane w mniejszy trójkąt równoboczny, którego bok jest nam znany Korzystamy z odpowiednich zależności i zapisujemy promień naszej kuli jako:

$\frac{\sqrt{3} }{6} \cdot2x=\frac{\sqrt{3} }{3} x$

Znamy teraz wszystkie potrzebne wymiary, możemy napisać wzór funkcji opisującej sumę objętości walca i kuli, które będą wpisane w ten stożek.

$V(x)=\pi x^2\cdot \bigg(\sqrt{3}\cdot(R-x) \bigg)+\frac{4}{3} \pi\bigg(\frac{\sqrt{3} }{3}\cdot x \bigg )^3$

po uproszczeniu:

$V(x)=\frac{1}{27}\cdot\bigg( \pi \cdot\sqrt{3}\cdot x^2\cdot (27\cdot R -23\cdot x)\bigg)$

Obliczamy pochodną:

$\frac{d}{dx}V(x)= \frac{1}{9} \bigg(\pi \cdot\sqrt{3} \cdot x\cdot (18\cdot R-23 \cdot x)\bigg)$

Zerujemy pochodną i obliczamy $x$

$\frac{d}{dx}V(x)=0 \ \Longleftrightarrow \ x=0 \ \vee \ x=\frac{18\cdot R}{23}$

Odrzucamy $x=0$ gdyż nie należy do dziedziny naszej funkcji.

Badamy pochodną w otoczeniu punktu $x=\frac{18\cdot R}{23}$

$\frac{d}{dx} V(\frac{17\cdot R}{23} )=\frac{17 \cdot\pi \cdot \sqrt{3} \cdot R^2}{207} >0$

$\frac{d}{dx} V(\frac{19\cdot R}{23} )=-\frac{19 \cdot\pi\cdot \sqrt{3} \cdot R^2}{207}$

Pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, oznacza to, że w badanym punkcie stacjonarnym mamy maksimum lokalne. Pozostaje obliczyć jego wartość

$V(\frac{18\cdot R}{23} )=\frac{108\sqrt{3}\pi \cdot R^3 }{529} \approx1,1109\cdot R^3$

1 votes Thanks 1

Zadanie w załączniku

W jaki sposób można w prosty sposób obliczyć pochodna funkcji drugiego czy nawet trzeciego stopnia określonego równaniami parametrycznymi?

Zapisz zbiór liczb niecałkowitych większych od 5 i mniejszych od 9

Proszę o rozwiązanie podanego zadania

Proszę o rozwiązanie jednego zadania

Proszę o rozwiązanie tych dwóch zadań

Proszę o rozwiązanie tego zadania

Proszę o rozwiązanie poniższych 6 zadań

Proszę o sprawdzenie i dokończenie tych 6 zadań

Rozwiąż równaniesin x = 2 cos x

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social

Zadanie w załączniku​

W jaki sposób można w prosty sposób obliczyć pochodna funkcji drugiego czy nawet trzeciego stopnia określonego równaniami parametrycznymi?​