Question

Zadanie potrzebna pomoc

Answer 1

Odpowiedź:

(a, b, c) ∈ {(-12, 39, -28), (-3, -6, 8), (6, 3, -10)}

Szczegółowe wyjaśnienie:

W(x) = x³ + ax² + bx + c

1 + a + b + c = 0 = W(1)

Jeżeli suma wszystkich współczynników wielomianu jest równa 0, to liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu.

Pierwiastki wielomianu są wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy r = 3.

Mamy ciąg:

m,  m + 3,  m + 6

W(x) = (x - m)(x - m - 3)(x - m - 6)

W(1) = 0, więc

(1 - m)(1 - m - 3)(1 - m - 6) = 0

(1 - m)(-m - 2)(-m - 5) = 0

(1 - m)(m + 2)(m + 5) = 0

m = 1  ∨  m = -2  ∨  m = -5

dla:

m = 1    ⇒  (1, 4, 7)

m = -2  ⇒  (-2, 1, 4)

m = -5  ⇒  (-5, -2, 1)

Obliczamy dla każdego przypadku współczynniki wielomianu.

(x - 1)(x - 4)(x - 7) = (x² - 5x + 4)(x - 7) = x³ - 12x² + 39x - 28

(x + 2)(x - 1)(x - 4) = (x² + x + -2)(x - 4) = x³ - 3x² - 6x + 8

(x + 5)(x + 2)(x - 1) = (x² + 7x + 10)(x - 1) = x³ + 6x² + 3x - 10

a = -12,  b = 39,  c = -28

lub

a = -3,  b = -6,  c = 8

lub

a = 6,  b = 3,  c = -10