Zadanie maturalne za 6 pktDla jakich wartości parametru m należacego do R równanie (x+2)[(m+1)x²-4mx.... Question from @MaciekGajver

agaciatko

(x+2)[(m+1)x²-4mx+m+1]=0

Jeden pierwiastek już mamy z głowy x=-2

zostaje nam równanie kwadratowe

(m+1)x²-4mx+m+1=0

aby miało 2 pierwiastki to m+1≠0

m≠-1

aby były różne to Δ>0

Δ=(-4m)²-4(m+1)(m+1)=16m²-4(m²+2m+1)=16m²-4m²-8m-4=12m²-8m-4

Δm=256

√Δ=16

m₁=(8+16)/24=1

m₂=(8-16)/24=-⅓

Rysujemy wykres pomocniczy i z niego widać, że Δ>0 dla m należących do (-∞,-⅓)u(1,+∞).

aby były ujemne trzeba skorzystać z wzorów Viete'a

x₁·x₂>0 i x₁+x₂<0

x₁·x₂=c/a=(m+1)/(m+1)>0

Możemy to zapisać jako (m+1)(m+1)>0

(m+1)²>0 jest to spełnione dla m nal. do R\{-1}

x₁+x₂=-b/a=4m/(m+1)<0

Znów zapisujemy jako mnożenie. 4m(m+1)<0

Rysujemy wykresik i z niego wychodzi , że m nal. do (-1,0)

Czyli mamy m nal do R\{-1}

m nal do (-∞,-⅓)u(1,+∞)

i m nal. do (-1,0)

Bierzemy część wspólną tych przedziałów co daje nam przedział (-1,-⅓) - dla m należących do tego przedziału równanie ma 3 pierwiastki ujemne.

2 votes Thanks 1

HaveYouMetTed

$(x+2)[(m+1)x^{2}-4mx+m+1]=0 \\ x_{1}=-2 \in ( - \infty ; 0) \\$

$w(x)=(m+1)x^{2}-4mx+m+1=0 \\ Z: \\ \begin{cases} \Delta > 0 \\ a \neq 0 \\ w(-2) \neq 0 \\x_{1}<0 \\ x_{2} < 0 \end{cases} \ \to \begin{cases} \Delta >0 \\ a \neq 0 \\ w(-2) \neq 0 \\x_{1}x_{2}>0 \\ x_{1}+x_{2}<0 \end{cases} \\$

$a \neq 0 \to m \neq -1 \\ \Delta >0 \\ 16m^{2}-4(m+1)^{2}>0 \\ 16m^{2}-4m^{2}-8m-4>0 \\ 12m^{2}-8m-4>0 \\ 3m^{2}-2m-1>0 \\ \Delta _{m} = 4 +12=16 \to \sqrt{ \Delta _{m}}=4 \\ m_{1}= \frac{2+4}{6}=1 \\ m_{2} = \frac{2-4}{6} = - \frac{1}{3} \\ \Delta > 0 <=> m \in (- \infty ; - \frac{1}{3}) \cup (1; + \infty ) \backslash \{ -1 \} \\$

$w(-2) \neq 0 \\ (m+1)4+8m+m+1 \neq 0 \\ 4m+4+8m+m+1 \neq 0 \\ 13m \neq -5 \\ w(-2) \neq 0 <=> m \neq - \frac{5}{13}$

$x_{1}+x_{2} <0 \\ \frac{4m}{m+1}<0 \\ 4m(m+1)<0 \\ m \in (-1;0) \\ x_{1}x_{2}>0 \\ \frac{m+1}{m+1}>0 \\ 1>0 \\ reasumujac: \\ m \in [( - \infty ; - \frac{1}{3}) \cup (1; + \infty ) \backslash \{ -1 \ ; \ - \frac{5}{13} \}] \cap (-1;0) \\ m \in (-1; - \frac{1}{3}) \backslash \{ - \frac{5}{13} \}$

3 votes Thanks 2

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social