Question

Zadanie 5.20, 5.21, 5.22 oraz 5.24 Zadania maja być zrobione dokładnie, złe rozwiązania będę usuwać ^^

Answer 1

Zad. 5.20

Liczba dzieci na kolonii przed przyjęciem dodatkowych dzieci: 840

Liczba dzieci na kolonii po przyjęciu dodatkowych dzieci: 840 + 24 = 864

 

Liczba dzieci na 1 wychowawcę przed przyjęciem dodatkowych dzieci: x

Liczba dzieci na 1 wychowawcę po przyjęciu dodatkowych dzieci: x + 2

 

Liczba wychowawców na kolonii przed przyjęciem dodatkowych dzieci: y

Liczba wychowawców  na kolonii po przyjęciu dodatkowych dzieci: y - 1

 

Zał.: x, y ∈ N (bo oznaczają liczbę ludzi)

 

Z treści zadania otrzymujemy:

{x · y = 840

{(x + 2)(y - 1) = 864

 

{xy = 840

{xy - x + 2y - 2 = 864

 

{xy = 840

{840 - x + 2y = 864 + 2

 

{xy = 840

{- x = 866 - 840 - 2y

 

{xy = 840

{- x = - 2y + 26  /·(- 1)

 

{xy = 840

{x = 2y - 26

 

{(2y - 26)·y = 840

{x = 2y - 26

 

{2y² - 26y - 840 = 0  /:2

{x = 2y - 26

 

{y² - 13y - 420 = 0

{x = 2y - 26

 

Rozwiążemy pierwsze równanie układu:

y² - 13y - 420 = 0

Δ = (-13)² - 4 · 1 · (- 420) = 169 + 1680 = 1849

√Δ = √1849 = 43

y₁ = (13 - 43) / (2 · 1) = - 30 / 2 = - 15 ∉ N

y₂ = (13 + 43) / (2 · 1) = 56 / 2 = 28 ∈ N

czyli y = 28

 

{x = 2y - 26

{y = 28

 

{x = 56 - 26

{y = 28

 

{x = 30

{y = 28

 

Liczba dzieci na 1 wychowawcę przed przyjęciem dodatkowych dzieci: x = 30

Liczba dzieci na 1 wychowawcę po przyjęciu dodatkowych dzieci: x + 2 = 30 + 2 = 32

 

Liczba wychowawców na kolonii przed przyjęciem dodatkowych dzieci: y = 28

Liczba wychowawców  na kolonii po przyjęciu dodatkowych dzieci: y - 1 = 28 - 1 = 27

 

 Spr.

30 · 28 = 840

32 · 27 = 864

 

Odp. Na kolonii było 27 wychowawców i każdy z nich opiekował się 32 dziećmi.

 

 

Zad. 5.21

prędkość pociagu: V [km/h]

czas przejazdu: t [h]

długość drogi (dystansu): s = 180 [km]

Zał. V > 0 i t > 0

 

Wzór na średnią prędkość: V = s / t ⇒ V · t  = s

 

Z treści zadania:

Gdy zwiększy się prędkość o 9 km/h (V + 9) to czas przejazdu się skróci o 40 min = ⅔ h (t - ⅔).

 

Z treści zadania i ze wzoru na prędkość otrzymujemy:

{V · t = 180

{(V + 9)(t - ⅔) = 180

 

{V · t = 180

{V · t - ⅔ · V + 9 · t - 6 = 180

 

{V · t = 180

{180 - ⅔ · V + 9t = 180 + 6

 

{V · t = 180

{- ⅔ · V = 186 - 180 - 9t

 

{V · t = 180

{- ⅔ · V = - 9t + 6   /·(- ³/₂)

 

{V · t = 180

{V = 13,5t - 9

 

{(13,5t - 9) · t = 180

{V = 13,5t - 9

 

{13,5t² - 9t - 180 = 0

{V = 13,5t - 9

 

Rozwiążemy pierwsze równanie układu:

13,5t² - 9t - 180 = 0

Δ = (- 9)² - 4 · 13,5 · (- 180) = 81 + 9720 = 9801

√Δ = √9801 = 99

t₁ = (9 - 99) / (2 · 13,5) = - 90 / 27 = - 10 / 3 = - 3⅓ < 0

t₂ = (9 + 99) / (2 · 13,5) = 108 / 27 = 4 > 0

czyli t = 4

 

{V = 13,5t - 9

{t = 4

 

{V = 13,5 · 4 - 9

{t = 4

 

{V = 54 - 9

{t = 4

 

{V = 45

{t = 4

 

Odp. Prędkość pociągu  wynosi 45 km/h.

 

 

Zad. 5.22

Odległość między miejscowościami A i B: 182 km

Odległość od miejscowości A do miejsca spotkania rowerzystów: ⁹/₁₃ · 182 = 126 km

Odległość od miejscowości B do miejsca spotkania rowerzystów: 182 - 126 = 56 km

 

Średnia prędkość rowerzysty jadącego z A do B: V

Czas dojazdu do miejsca spotkania rowerzysty jadącego z A do B: t

 

Średnia prędkość rowerzysty jadącego z B do A: V - 7

Czas dojazdu do miejsca spotkania rowerzysty jadącego z B do A: t - 1

 

Zał.: V > 0, t > 0 i V - 7 < 25 ⇒ V < 32 (z treści zadania "rowerzysta jadący z B do A jedzie ze średnią prędkością mniejszą od 25 km/h)

 

Wzór na średnią prędkość: V = s / t ⇒ V · t  = s

 

Z treści zadania i ze wzoru na prędkość otrzymujemy:

{V · t = 126

{(V - 7)(t - 1) = 56

 

{V · t = 126

{V · t - V - 7 · t + 7 = 56

 

{V · t = 126

{126 - V - 7t = 56 - 7

 

{V · t = 126

{- V - 7t = 49 - 126

 

{V · t = 126

{- V = - 77 + 7t  /·(- 1)

 

{V · t = 126

{V = - 7t  + 77

 

{(- 7t  + 77) · t = 126

{V = - 7t  + 77

 

{- 7t²  + 77t - 126 = 0  /:(- 7)

{V = - 7t  + 77

 

{t²  - 11t + 18 = 0

{V = - 7t  + 77

 

Rozwiążemy pierwsze równanie układu:

t²  - 11t + 18 = 0

Δ = (- 11)² - 4 · 1 · 18 = 121 - 72 = 49

√Δ = √49 = 7

t₁ = (11 - 7) / (2 · 1) = 4 / 2 = 2

t₂ = (11 + 7) / (2 · 1) = 18 / 2 = 9

 

dla t = 2

{V = - 7t  + 77

{t = 2

 

{V = - 7 · 2  + 77

{t = 2

 

{V = - 14  + 77

{t = 2

 

{V = 63 > 32 ( odrzuczamy, bo niezgodne z założeniem V < 32)

{t = 2

 

dla t = 9

{V = - 7t  + 77

{t = 9

 

{V = - 7 · 9  + 77

{t = 9

 

{V = - 63  + 77

{t = 2

 

{V = 14 < 32

{t = 2

 

Zatem:

{V = 14

{t = 2

 

Średnia prędkość rowerzysty jadącego z A do B: V = 14 km/h

Średnia prędkość rowerzysty jadącego z B do A: V - 7 = 14 - 7 = 7 km/h

 

Odp. Średnia prędkość rowerzystów wynosiła 14 km/h i 7 km/h.

 

 

Zad. 5.24

Pojemność zbiornika: 700 m³

 

Ilość dostarczonej wody do zbiornika w ciągu 1 godziny przez pierwszą rurę: x [m³/h]

Czas napełniania zbiornika przez pierwszą rurę: t [h]

 

Ilość dostarczonej wody do zbiornika w ciągu 1 godziny przez drugą rurę: x - 5 [m³/h]

Czas napełniania zbiornika przez drugą rurę: t₁ = t + 16 [h]

 

Czas napełnienia zbiornika = pojemność zbiornika / ilość dostarczonej wody do zbiornika w ciągu 1 godziny

 

Zał.: t > 0, x > 0

 

Zatem otrzymujemy:

{t = 700/x  

{t₁ = 700/(x - 5)

 

{t = 700/x  

{t + 16 = 700/(x - 5)

 

{t = 700/x  

{t = 700/(x - 5) - 16

_________________

700/x = 700/(x - 5) - 16

700/x + 16 = 700/(x - 5)

700/x + 16x/x = 700/(x - 5)

700 + 16x/x = 700/(x - 5)

(700 + 16x)(x - 5) = 700x

700x - 3500 + 16x² - 80x - 700x = 0

16x² - 80x - 3500 = 0  /:4

4x² - 20x - 875 = 0

Δ = (- 20)² - 4 · 4 · (- 875) = 400 + 14000 = 14400

√Δ = √14400 = 120

x₁ = (20 - 120) / (2 · 4) = - 100 / 8 = - 12,5 < 0

x₂ = (20 + 120) / (2 · 4) = 140 / 8 = 17,5 > 0

czyli x = 17,5

 

Zatem obie rury w ciągu godziny dostarczają:

x + (x - 5) = 17,5 + (17,5 - 5) = 17,5 + 12,5 = 30 m³/h

Stąd czas napełnienia zbiornika przez obie rury jednocześnie wynosi:

700/30 = 70/3 = 23⅓ h = 23 h 20 min.

 

Odp. Zbiornik zostanie napełniony przez obie rury jednocześnie w ciągu 23 godzin i 20 minut.