Zadanie 32 Proszę o pomoc!!.... Question from @mariakon04

April 2022 1 7 Report

Zadanie 32
Proszę o pomoc!!

0AB

Odpowiedź

Jeżeli bok kwadratu oznaczymy przez a, to średnica D największego okręgu stycznego wewnętrznie do okręgu opisanego na kwadracie oraz do jednego z boków kwadratu wyraża się następującym wzorem

$D = \dfrac {1 + \sqrt{2}} {2} \cdot a = \dfrac {1 + \sqrt{2}} {2} \cdot 6 \approx 7,24$

Szczegółowe wyjaśnienie

Rysunek, który załączyłam jest konieczny do zrozumienie przeprowadzonych obliczeń.

Jeżeli a jest długością boku kwadratu, to średnica AC okręgu opisanego na kwadracie, o środku w punkcie E, ma długość |AC| = a · √2 .

Jednocześnie jeśli skonstruować okręgi

o środku F oraz średnicy KG (najmniejszy z okręgów stycznych wewnętrznie do okręgu opisanego na kwadracie oraz do jednego z boków kwadratu), gdzie K oraz G są punktami styczności,
o środku J oraz średnicy GL (największy z okręgów stycznych wewnętrznie do okręgu opisanego na kwadracie oraz do jednego z boków kwadratu), gdzie G oraz L są punktami styczności,

to widać, że suma średnic tych okręgów jest równa średnicy AC okręgu opisanego na kwadracie.

Czyli

|KG| + |GL| = |AC|

|KG| + D = a · √2

Ponieważ odcinek EK ( |EK| = |AC| / 2 = a · √2 / 2 ) jest promieniem okręgu opisanego, to mamy zależność

|KG| + |EG| = |EK|

|KG| + a/2 = a · √2 / 2

Aby obliczyć średnicę D rozwiązujemy następujący układ równań

$\displaystyle \left \{ {{|KG| + D = a \cdot \sqrt 2} \atop {|KG| + \dfrac a 2 = a \cdot \dfrac {\sqrt 2} 2}} \right.$