Zadanie 3 i 5 w zalaczniku w zad 5 na koncu jest -1 bo ucielo.... Question from @Alavandares

Alavandares @Alavandares

October 2018 1 29 Report

Zadanie 3 i 5 w zalaczniku w zad 5 na koncu jest -1 bo ucielo

Roma

Zad. 3

Postać ogólna funkcji kwadratowej: $y = ax^2 + bx + c$

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej: $y = a \cdot (x - p)^2 + q$ , gdzie

$p = \frac{-b}{2a} \ i \ q = \frac{-\Delta}{4a}; \ \Delta = b^2 - 4ac$

$y = x^2 - 4x + 7 \\\ a = 1; \ b = - 4; \ c = 7 \\\ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = - 12\\\\ p = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \\\\ q = \frac{- (-12)}{4 \cdot 1} = \frac{12}{4} = 3 \\\\ y = 1 \cdot (x - 2)^2 + 3 = (x - 2)^2 + 3$

Odp. y = (x - 2)² + 3

$y = -x^2 +6x - 9 \\\ a = -1; \ b = 6; \ c = -9 \\\ \Delta = 6^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-9) = 36 - 36 = 0\\\\ p = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = \frac{-6}{-2} = 3 \\\\ q = \frac{0}{4 \cdot (-1)} = \frac{0}{-4} = 0 \\\\ y = -1 \cdot (x - 3)^2 + 0 = -(x - 3)^2$

Odp. y = - (x - 3)²

$y = 6x^2 + 7 \\\ a = 6; \ b = 0; \ c = 7 \\\ \Delta = 0^2 - 4 \cdot 6 \cdot 7 = 0 - 168 = - 168\\\\ p = \frac{0}{2 \cdot 6} = \frac{0}{12} = 0 \\\\ q = \frac{- (-168)}{4 \cdot 6} = \frac{168}{24} = 7 \\\\ y = 6 \cdot (x - 0)^2 + 7= 6x^2 + 7$

Odp. y = 6·(x - 0)² + 7 = 6x² + 7

$y = 3x^2 - x + 9 \\\ a = 3; \ b = - 1; \ c = 9 \\\ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 1 - 108 = - 107\\\\ p = \frac{-(-1)}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} \\\\ q = \frac{- (-107)}{4 \cdot 3} = \frac{107}{12} = 8 \frac{11}{12} \\\\ y = 3 \cdot (x - \frac{1}{6})^2 + 8\frac{11}{12}$

Odp. y = 3·(x - ⅙)² + 8¹¹/₁₂

$y = -4x^2 +2x - 3 \\\ a = -4; \ b = 2; \ c = -3 \\\ \Delta = 2^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-3) = 4 - 48 = -44\\\\ p = \frac{-2}{2 \cdot (-4)} = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4} \\\\ q = \frac{-(-44)}{4 \cdot (-4)} = \frac{44}{-16} = \frac{11}{-4}=-2\frac{3}{4} \\\\ y = -4 \cdot (x - \frac{1}{4})^2 -2\frac{3}{4}$

Odp. y = - 4·(x - ¼)² - 2¾

$y = \frac{1}{2}x^2 +3x \\\ a = \frac{1}{2}; \ b = 3; \ c = 0 \\\ \Delta = 3^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0 = 9 - 0 = 9\\\\ p = \frac{-3}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{-3}{1} = -3 \\\\ q = \frac{- 9}{4 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{-9}{2} = -4\frac{1}{2} \\\\ y = \frac{1}{2} \cdot (x + 3)^2 - 4\frac{1}{2}$

Odp. y = ½·(x + 3)² - 4½

Zad. 5

Jeśli funkcja kwadratowa jest w postaci ogólnej to, aby naszkicować wykres tej funkcji wyznaczamy punkty należace do tego wykresu, czyli do paraboli:

1) wierzchołek paraboli, który ma współrzędne W = (p; q), gdzie

$p = \frac{-b}{2a} \ i \ q = \frac{-\Delta}{4a}; \ \Delta = b^2 - 4ac$

2) punkt przecięcia paraboli z osią OY, który ma współrzędne (0; c)

3) punkty przecięcia paraboli z osią OX, czyli miejsca zerowe funkcji

lub

3') dwa dodatkowe punkty należące do paraboli

Uwaga: miejsca zerowe to dopiero następny temat, więc wyznaczymy dwa punkty, które należą do paraboli, czyli takie punkty, których współrzędne spełniają równanie paraboli

Rysując wykres funkcji kwadratowej musimy również pamiętać, że gdy a > 0, to ramiona paraboli są skierowane w górę, natomiast gdy a < 0, to ramiona paraboli są skierowane w dół.

$y = - x^2 + 6x \\\ a = - 1 < 0; \ b = 6; \ c = 0 \\\ \Delta = 6^2 - 4 \cdot (- 1) \cdot 0 = 36 - 0 = 36$

$p = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = \frac{-6}{-2} = 3 \\\\ q = \frac{-36}{4 \cdot (-1)} = \frac{-36}{-4} = 9 \\\\ W = (3; \ 9)$

punkt przecięcia paraboli z osią OY: $(0; \ 0)$

3')

$y = - x^2 + 6x \\\ x = - 1 \ => \ y = - (-1)^2 + 6 \cdot (-1) = - 1 - 6 = - 7\\\ czyli \ do \ paraboli \ nale\.zy \ punkt: \ (-1; \ - 7) \\\\ x = 6 \ => \ y = - 6^2 + 6 \cdot 6= - 36 + 36 = 0\\\ czyli \ do \ paraboli \ nale\.zy \ punkt: \ (6; \ 0)$

Zaznaczamy wyznaczone punkty w układzie współrzędnych i szkicujemy wykres (a = - 1 < 0, więc ramiona paraboli w dół) - patrz załącznik

$y = x^2 + 2x - 3 \\\ a = 1 > 0; \ b = 2; \ c = -3 \\\ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

$p = \frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = - 1 \\\\ q = \frac{-16}{4 \cdot 1} = \frac{-16}{4} = -4 \\\\ W = (-1; \ -4)$

punkt przecięcia paraboli z osią OY: $(0; \ - 3)$

3')

$y = x^2 + 2x -3 \\\ x = - 3 \ => \ y = (-3)^2 + 2 \cdot (-3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0 \\\ czyli \ do \ paraboli \ nale\.zy \ punkt: \ (-3; \ 0) \\\\ x = 1 \ => \ y = 1^2 + 2 \cdot 1 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0\\\ czyli \ do \ paraboli \ nale\.zy \ punkt: \ (1; \ 0)$

Zaznaczamy wyznaczone punkty w układzie współrzędnych i szkicujemy wykres (a = 1 > 0, więc ramiona paraboli w górę) - patrz załącznik

$y = \frac{2}{3}x^2 + 3x - 1 \\\\ a = \frac{2}{3} > 0; \ b = 3; \ c = -1 \\\\ \Delta = 3^2 - 4 \cdot \frac{2}{3} \cdot (-1) = 9 + \frac{8}{3} = \frac{27}{3} + \frac{8}{3} = \frac{35}{3} = 11\frac{2}{3}$

$p = \frac{-3}{2 \cdot \frac{2}{3}} = \frac{-3}{\frac{4}{3}} = - 3 \cdot \frac{3}{4} =-\frac{9}{4} = - 2\frac{1}{4}\\\\ q = \frac{-\frac{35}{3}}{4 \cdot \frac{2}{3}} = \frac{-\frac{35}{3}}{\frac{8}{3}} = -\frac{35}{3} \cdot \frac{3}{8} = - \frac{35}{8} = -4\frac{3}{8} \\\\ W = (-2\frac{1}{4}; \ -4\frac{3}{8})$

punkt przecięcia paraboli z osią OY: $(0; \ - 1)$

3')

$y = \frac{2}{3}x^2 + 3x - 1\\\ x = - 6 \ => \ y = \frac{2}{3} \cdot (-6)^2 + 3 \cdot (-6) - 1 = \frac{2}{3} \cdot 36 -18 - 1 = 24 \\\ - 18 - 1 = 5 \\\ czyli \ do \ paraboli \ nale\.zy \ punkt: \ (-6; \ 5) \\\\ x = -3 \ => \ y = \frac{2}{3} \cdot (-3)^2 + 3 \cdot (-3) - 1 = \frac{2}{3} \cdot 9 - 9 - 1 = 6 \\\ -9 - 1 = - 4 \\\ czyli \ do \ paraboli \ nale\.zy \ punkt: \ (-3; \ -4)$