Question

Zadanie 1. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym o polu 18 cm2. Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość tego stożka.

Zadanie 2. Oblicz objętość bryły, która powstała w wyniku obrotu trójkąta równoramiennego o bokach 15,15,12 wokół prostej zawierającej ramię.

Answer 1

1)

zad1

przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym o polu 18 cm kwadratowych . Oblicz objętość i pole powierzchni tego stożka. 

zatem  kat rozwarcia stożka =90⁰
wysokość =h dzieli średnicę czyli podstawę przekroju osiowego   na pół,a kąt 90 na 2 katy po 45⁰ i tworzy z promieniami i tworzącymi trójkąty prostokątne równoramienne o kątach 90,45 i 45⁰
stad mamy ze  r=h

 l=r√2
średnica=2r
pole Δ=½ah
18cm²=½·2r·r
18=r²
r=√18=√9·√2=3√2
r=3√2

r=h=3√2
l=r√2=3√2·√2=6cm
Pp=πr²=π(3√2)²=18πcm²

 

objetosc stozka
V=⅓·18π·3√2=18√2πcm³

Pb=πrl=π·3√2·6=18√2π cm²

 Pc=Pp+Pb=18π+18√2π=18π(1+√2) cm²

 

2)

ramie Δ c=15

podstwa Δ a=12

z pitagorasa :

(1/2a)²+h²=15²

6²+h²=225

h²=225-36

h²=189

h=√189=3√21 --->wysokosc Δ

ta wysokosc dzieli Δ na 2 takie same Δ prostokatne o przyprostokatnych h=3√21 i 1/2a=6cm

przeciwprostokatna w tych 2Δ ma dlugosc ramienia czyli c=15cm

 

 

w wyniku obrotu1 Δ prostokatnego otrzymamy 2 stozki zrosniete podstawami,czyli maja jedna podstawe

na objetosc bryly  sklada sie  suma objetosci obrotow 2 Δ prostokatnych 

V1=⅓πr²·h1

V2=⅓πr²·h2

V=V1+V2=⅓πr²·h1+⅓πr²·h2=⅓πr²(h1+h2)

 

suma 2 wysokosci rowna sie dl. przeciwprostokatnej c:

h1+h2=c=15

czyli wysoksoc stozka H=15cm

 

promien r jest zarazem wysoksocia tego Δ opuszczona na przeciwprostokatna 

czyli pole Δ:  P=½·6·3√21=9√21 cm²

 

to:15r/2=9√21     /·2

     15r=18√21

       r=18√21/15=6√21/3 cm

 

 objetosc powstalej bryly wynosi zatem: 

 

V=2·⅓π·r²·H=2/3π·(6√21/3)²·15=2/3·756/9 ·15π=1512π/27=22680π/27=840π cm³