Question

Zadanie 1. Napisz wzór funkcji kwadratowej f(x)=-x2-3x-2 w postaci iloczynowej i kanonicznej . Zadanie2. Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x)= -x2-2x w przedziale domkniętym Zadanie3. Napisz wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że a) miejscami zerowymi są liczby -2 i 4 i do wykresu należy punkt P= (0;3) b) wierzchołek ma współrzędne W=(1;3) i do wykresu należy punkt P=(0;-1) Zadanie 4. Określ zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji f(x)= -x2 + 3x- 2 Zadanie 5. Narysuj wykres funkcji f(x)= x2 + 5x + 4

Answer 1

Zadanie 1. Napisz wzór funkcji kwadratowej f(x)=-x2-3x-2 w postaci iloczynowej i kanonicznej .

f(x)=-(x²+3x+2)

f(x)=-(x+2)(x+1)      POSTAĆ ILOCZYNOWA

f(x)=-(x²+3x+6-4)

f(x)=-(x+3)²+4         POSTAĆ KANONICZNA

Zadanie2. Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x)= -x²-2x w przedziale domkniętym <-2;0>

Najpierw obliczamy współżedne wierzchołka paraboli.

x=-b/2a

x=2/-2  

x=-1 i to należy do przedziału <-2;0>, więc najwieksza wartość w tym przedziale dla x=-1 i wynosi f(-1)=-1+2=1

Najmniejsza wartość w tym przedziale dla x=-2 oraz x=0

f(0)=(2)=0

 

 

Zadanie3. Napisz wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że

a) miejscami zerowymi są liczby -2 i 4 i do wykresu należy punkt P= (0;3)

f(x)=a(x+2)(x-4)

3=a(0+2)(0-4)

3=-8a

a=-3/8

f(x)=-3/8(x+2)(x-4)

b) wierzchołek ma współrzędne W=(1;3) i do wykresu należy punkt P=(0;-1)

-b/2a=1

(4ac-b²)/4a=3

-1=a·0+b·0+c

c=-1

(-4a-b²)/4a=3

-b/2a=1

2a=-b

b=-2a

-4a-4a²=12a

4a²+16a=0

a(a+4)=0

a=-4 ,bo a różne od 0 dla f kwadratowej

b=8

f(x)=-4x²+8x-1

Zadanie 4. Określ zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji

f(x)= -x² + 3x- 2

Zbiór watrości=(-nieskończoność; y wierzchołka)

y wierchołka=-Δ/4a

y wierchołka=-(9-8)/-4=1/4

Zbiór watrości=(-nieskończoność; 1/4)

Przedziały monotoniczności

rosnąca=(-nieskończoność; x wierzchołka>

malejąca <x wierzchołka;nieskończoność)

x wierzchołka=-b/2a=-3/-2=3/2

rosnąca=(-nieskończoność; 3/2>

malejąca <3/2;nieskończoność)

Zadanie 5. Narysuj wykres funkcji f(x)= x² + 5x + 4

f(x)= (x+4)(x+1)      -miejsca zerowe -4 i -1

Wierzchołek paraboli = (-b/2a;-Δ/4a)

Wierzchołek paraboli = (-5/2;-9/4)

Rysunek w załączniku

Answer 2

Funkcja kwadratowa:

Postać ogólna: y=ax²+bx+c

Δ=b²-4ac

x₁=[-b-√Δ]/2a

x₂=[-b-√Δ]/2a

Postać kanoniczna (wierzchołkowa): y=a(x-p)²+q, gdzie p,q - współrzędne wierzchołka

p=-b/2a

q=-Δ/4a

Δ=b²-4ac

Postać iloczynowa: y=a(x-x₁)(x-x₂), gdzie x₁,x₂ - miejsca zerowe (pierwiastki)

====================================

zad 1

f(x)=-x²-3x-2

a=-1

-- postać kanoniczna: y=-(x+3/2)²+1/4

p=3/(-2)=-3/2

q=-1/(-4)=1/4

Δ=(-3)²-4*(-1)*(-2)=9-8=1

-- postać iloczynowa: y=-(x+1)(x+2)

Δ=1

√Δ=1

x₁=[3-1]/(-2)=-1

x₂=[3+1]/(-2)=-2

=======================

zad 2

f(x)=-x²-2x; <-2, 0>

a=-1<0 

Wykresem funkcji będzie parabola skierowana ramionami w dół

---

1. Wartości funkcji na krańcach przedziału:

f(-2)=-(-2)²-2*(-2)=-4+4=0   => P₁(-2, 0)

f(0)=-0²-2*0=0   => P₂(0, 0)

Krańce przedziłu <-2, 0> są miejscami zerowymi funkcji.

---

2. Największa wartość funkcji będzie w wierzchołku paraboli:

p=2/(-1)=-1

q=-4/(-4)=1

Δ=(-2)²-4*(-1)*0=4

Ymax=1 dla x=-1

---

3. Najmniejsza wartość funkcji w danym przedziale [i tu mam wątpliwości czy mogą być dwie] jest w miejscach zerowych:

Ymin=0 dla x₁=-2 i x₂=0

=======================

zad 3

a) x₁=-2; x₂=4; P(0, 3)

Postać iloczynowa:

y=a(x+2)(x-4)    (***)

Punkt P należy do wykresu funkcji (***), czyli spełnia jej równanie:

3=a(0+2)(0-4)

3=-8a

a=-3/8

Postać iloczynowa: y=-3/8(x+2)(x-4)

-----------

b) W(1, 3); P(0, -1)

Postać kanoniczna:

y=a(x-1)²+3    (***)

Punkt P należy do wykresu funkcji (***), czyli spełnia jej równanie:

-1=a(0-1)²+3

-1-3=a

a=-4

Postać kanoniczna: y=-4(x-1)²+3

=======================

zad 4

Zbiór wartości funkcji określa się na podstawie drugiej współrzędnej wierzchołka paraboli (q), oraz współczynnika kierunkowego funkcji (a), jeśli:

-- a>0 to zbiór wartości to przedział (-∞, q>

-- a<0 to zbiór wartości to przedział <q, ∞)

Monotoniczność funkcji określa się na podstawie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli (p), oraz współczynnika kierunkowego funkcji (a), jeśli:

-- a>0 - f. malejąca dla x∈(-∞, p>; rosnąca dla x∈<p, ∞)

-- a>0 - f. malejąca dla x∈<p, ∞); rosnąca dla x∈(-∞, p>

-----------------------------

f(x)=-x²+3x-2

a=-1<0

---

1. Zbiór wartości funkcji:

q=-1/(-4)=1/4

Δ=3²-4*(-1)*(-2)=9-8=1

Zbiór wartości: y∈(-∞, 1/4)

---

2. Monotoniczność funkcji:

p=-3/(-2)=3/2

-- f. rosnąca dla x∈(-∞, 3/2>

-- f. malejąca dla x∈<3/2, ∞)

=======================

zad 5

f(x)=x²+5x+4

Punkty pomocne w rysowaniu:

-- wierzchołek W(-5/2, -9/4)

p=-5/2

q=-9/4

Δ=5²-5*1*4=25-16=9

-- miejsca zerowe:

Δ=9

√Δ=3

x₁=[-5-3]/2=-4  => P₁(-4, 0)

x₂=[-5+3]/2=-1  => P₂(-1, 0)