Question

Zadanie 1 i zadanie 2
Dam naj :)

Answer 1

Korzystałem z następujących wzorów:
Δ = b^2 - 4*a*c
x1 = (-b - √Δ) / 2a
x2 = (-b + √Δ) / 2a
a -> liczba stojąca przy x^2
b -> liczba stojąca przy x
c -> liczba "wolna"

Zad.1:
a)
(x-2)/(x-5) + (x-3)/(x-5) = 2x-5   /*(x-5)
(x-2) + (x-3) = (2x-5)*(x-5)
x-2+x-3 = 2x^2-10x-5x+25
-2x^2+2x+10x+5x-25-5 = 0
-2x^2+17x-30 = 0

Δ = 289-4*(-2)*(-30) = 289-240 = 49
pierwiastek z Δ = 7

x1 = (-17-7)/(-4) = -24/-4 = 6
x2 = (-17+7)/(-4) = -10/-4 = 2,5

b)
(x-1)/(x+1) - (x+2)/(x-2) = 3   /*(x+1)(x-2)
(x-1)*(x-2) - (x+2)*(x+1) = 3*(x+1)*(x-2)
(x^2-2x-x+2) - (x^2+x+2x+2) = 3*(x^2-2x+x-2)
x^2-2x-x+2-x^2-x-2x-2 = 3x^2-6x+3x-6
-6x = 3x^2-3x-6
3x^2+3x-6 = 0

Δ = 9-4*3*(-6) = 9+72 = 81
pierwiastek z Δ = 9

x1 = (-3-9)/6 = -12/6 = -2
x2 = (-3+9)/6 = 6/6 = 1

c)
(x+5)/(x+4) + 5/(x-2) = 1/(x+4)   /*(x+4)(x-2)
(x+5)(x-2) + 5(x+4) = 1(x-2)
(x^2-2x+5x-10) + (5x+20) = x-2
x^2-2x+5x-10+5x+20 = x-2
x^2+8x+10 = x-2
x^2+7x+12 = 0

Δ = 49-4*1*12 = 49-48 = 1
pierwiastek z Δ = 1

x1 = (-7-1)/2 = -8/2 = -4
x2 = (-7+1)/2 = -6/2 = -3

d)
1/2x + 1/(2(x+2)) = 1
1/2x + 1/(2x+4) = 1   /*2x(2x+4)
2x+4 + 2x = 2x(2x+4)
4x+4 = 4x^2+8x
4x^2+4x-4 = 0

Δ = 16-4*4*(-4) = 16+64 = 80
pierwiastek z Δ = √80 = 4√5

x1 = (-4-4√5)/8 = -4/8 - 4√5/8 = -0,5 - 0,5√5
x2 = (-4+4√5)/8 = -4/8 + 4√5/8 = -0,5 + 0,5√5

Zad.2:
a)
(x-3)/(x+1) ≥ 1/2   /*2(x+1)^2
2(x-3)(x+1) ≥ (x+1)^2
2(x^2+x-3x-3) ≥ x^2+2x+1
2x^2+2x-6x-6 ≥ x^2+2x+1
2x^2-x^2-4x-2x-6-1 ≥ 0
x^2-6x-7 ≥ 0

Δ = 36-4*1*(-7) = 36+28 = 64
pierwiastek z Δ = 8

x1 = (6-8) / 2 = -2/2 = -1
x2 = (6+8) / 2 = 14/2 = 7

x ϵ <-∞ ; -1> ∪ <7 ; +∞>

b)
(x+2)/x ≤ -2   /*x^2
x(x+2) ≤ -2x^2
x^2+2x ≤ -2x^2
3x^2+2x+0 ≤ 0

Δ = 4-4*3*0 = 4
pierwiastek z Δ = 2

x1 = (-2 - 2) / 6 = -4/6 = -2/3
x2 = (-2 + 2) / 6 = 0

Teraz należy sobie wyobrazić funcję o wzorze 3x^2+2x+0, bo równanie 3x^2+2x+0 jest po prostu wzorem funkcji parabolicznej. Jest to parabola, której "brzuszek" jest skierowany ku dołowi, bo "a" w równaniu jest dodatnie. x1 i x2 to punkty jej przecięcia z osią x. Poszukujemy dziedziny, dla której wartość jest równa lub mniejsza od zera. Rozwiązaniem jest więc x ϵ <-2/3 ; 0> czyli -2/3 ≤ x ≤ 0. Obraz moich myśli znajdziesz w załączniku.

c)
(x-5)/(x-3) > 0   /*(x-3)^2
(x-5)(x-3) > 0
x^2-3x-5x+15 > 0
x^2-8x+15 > 0

Δ = 64-4*1*15 = 64-60 = 4
pierwiastek z Δ = 2

x1 = (8-2) / 2 = 6/2 = 3
x2 = (8+2) / 2 = 10/2 = 5
x ϵ (-∞ ; 3) ∪ (5 ; +∞)

d)
(x^2+1)/(x-1) < 0   /*(x-1)^2
(x^2+1)(x-1) < 0
x^3-x^2+x-1 < 0
x^2(x-1)+(x-1) < 0
(x^2+1)(x-1) < 0
Dla ułatwienia można zamienić na równanie:
(x^2+1)(x-1) < 0
czyli
x^2+1=0 lub x-1=0
Bo przy mnożeniu dwóch czynników, któryś musi być zerem jeżeli iloczyn to zero.
x-1=0
x=1
lub
x^2+1=0

Δ = 0-4*1*1 = -4
Δ < 0 więc równanie kwadratowe nie ma rozwiązania
więc jest tylko jedno rozwiązanie:
x=1

e)
(x+1)/(x+2) > 1   /*(x+2)^2
(x+1)(x+2) > (x+2)^2
x^2+2x+x+2 > x^2+4x+4
3x-4x > 4-2
-x > 2   /:(-1)
x < -2

f)
(x^2+1)/(x-1) ≤ x   /*(x-1)^2
(x^2+1)(x-1) ≤ x(x-1)^2
x^3-x^2+x-1 ≤ x(x^2-2x+1)
x^3-x^2+x-1 ≤ x^3-2x^2+x
-x^2+2x^2-1 ≤ 0
x^2-1 ≤ 0

Δ = 0-4*1*(-1) = 4
pierwiastek z Δ = 2

x1 = (0-2) / 2 = -1
x2 = (0+2) / 2 = 1

x ϵ <-1 ; 1>

Dodałem wszystkie rozwiązania z nierównościami kwadratowymi na obrazku, aby było nieco łatwiej zrozumieć.