Question

Zadanie 1
Czastka o masie m1 i predkosci v1 zderza sie doskonale sprezyscie z inna czastka o masie m2=2m1, znajdujaca sie w spoczynku (v2=0). Po zderzeniu czastka o masie m2 porusza sie pod katem 60stopni wzgledem pierwotnego ukladu kierunku czastki o masie m1, znalezc kat odchylenia masy m1 oraz koncowe predkosci czastek u1 i u2.

Zadanie 2
Z jakim minimalnym przyspieszeniem powinien poruszac sie klocek A alby masy m1 i m2 pozostawaly w spoczynku wzgledem niego? Wspolczynnik tarcia miedzy klockiem i masami wynosi k=0.20, natomiast m1=3kg a m2= 5kg. Mase krazka i nici oraz tarcie w krazku zaniedbac.

Answer 1

1. Z zasady zachowania pędu pęd pierwszej cząstki zamieni się na 2 pędy, których suma (wektorowo) jest równa wektorowi pędu przed zderzeniem:
Oznaczmy:
m1 = m
m2 = 2m
v1 = v
u1 = u
u2 = w
mv = mu + 2mw (wektorowo!)
Ale z twierdzenia cosinusów:
m²v² + 4m²w² - 2mv*2mw cos60° = m²u²
cos60° = 0,5 oraz po skróceniu m²
v² + 4u² - 2vw = u²
A także dla drugiego trójkąta:
m²u² + m²v² - 2m²uv cosα = 4m²w²
Pozostaje równanie energii kinetycznych:
mv²/2 = mu²/2 + 2mw²/2, czyli:
v² = u² + 2w²
Mamy 3 niewiadome u, w, α oraz 3 równania
v² + 4w² - 2vw = u²
u² + v² - 2uv cosα = 4w²
v² = u² + 2w²
Rozwiązanie w załączniku.

2.
Na układ działają następujące siły:
- ciążenia
- tarcia mas o klocek
- nacisku mas o klocek
Masy nie będą się poruszać, jeśli siła ciągu
F= (m₂ - m₁)g
zostanie zrównoważona siłą tarcia mas o klocek A.
Siła nacisku masy m₁:
N₁ = m₁g
Siła nacisku masy m₂:
N₂ = m₂a, gdzie a=przyspieszenie klocka A.
Odpowiadające im siły tarcia:
T₁ = kN₁= km₁g
T₂ = kN₂= km₂a

F = T₁ + T₂
(m₂-m₁)g = km₁g + km₂a
a = [(m₂ - m₁)g - km₁g] / (km₂)
a = [m₂ - m₁(1 + k)]g / (km₂)
g = 9,81 m/s² ≈ 10 m /s² (przyśpieszenie ziemskie)
a = [5 - 3(1 + 0,2)]*10 / (0,2*5) = 14 m/s²