Question

ZADANIA Z WYRAŻEŃ ALGEBRAICZNYCH.

1. Reszty z dzielenia przez 5 liczb naturalnych a, b, c, d wynoszą odpowiednio 1, 2, 3 i 4. Wykaż, że suma:
a+b+c+d
jest liczbą podzielną przez 5.

2. Uzasadnij, że liczba 3[do potęgi n+2] + [do potęgi n] jest podzielna przez 10 dla każdej liczby naturalnej n.

3. Zapisz w postaci sumy algebraicznej:
a) iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych, z których mniejszą jest n-2,
b) iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych, następujących po liczbie 2n,
c) iloczyn dwóch kolejnych liczb nieparzystych, poprzedzających liczbę 2n+1.

4. Z liczby dwucyfrowej a utworzono dwie liczby: pierwszą przez dopisanie cyfry 1 na początku, drugą przez dopisanie cyfry 1 na końcu. Uzasadnij, że iloczyn otrzymanych liczb pomniejszony o liczbę a jest podzielny przez 10.

Wybiorę najlepszą pracę. Proszę o zrobienie wszystkich czterech. Z góry dziękuję. Daję 40 pkt.

Answer 1

1.
a = 5n + 1
b = 5n + 2
c = 5n + 3
d = 5n + 4
a + b + c + d = 5n + 1 + 5n + 2 + 5n +3 + 5n + 4 = 20n + 10 = 5(4n + 2)
Jeżeli przynajmniej jeden czynnik jest podzielny przez 5 to cały iloczyn też jest podzielny przez 5

2.
Jest w załączniku poprawnie zapisane

3.
a) (n-2)(n-1) = n² - 3n + 2
b) (2n + 2)(2n + 4) = 4n² + 12n +8
c) (2n - 3)(2n - 1) = 4n² - 8n +3

4.
a - liczba dwucyfrowa
100 + a - liczba powstała przez dopisanie cyfry 1 na początku
100a + 1 - liczba powstała przez dopisanie cyfry 1 na końcu.
(100 + a)(100a + 1) - a - iloczyn otrzymanych liczb pomniejszony o liczbę a

(100 + a)(100a + 1) - a = 10000a + 100 + 100a² + a - a = 10000a + 100 + 100a² = 10 (1000a + 10 + 10a²)
Jeżeli przynajmniej jeden czynnik jest podzielny przez 10 to cały iloczyn też jest podzielny przez 10