Question

Zadania z WIELOMIANÓW :D Daje dużo punktów, proszę o rozwiązanie wszystkich, ponadto daje NAJ ;)

Answer 1

zad 1

W(x)=x³-1

W(√3+1)=(√3+1)³-1=√3³+3*√3²*1+3*√3*1²+1³-1=3√3+9+3√3=6√3+9

Odp. C

[Wzór: sześcian sumy: (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³]

=====================

zad 2

Wielomian W(x) można zapisać jako:

W(x)=a(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)

gdzie a-współczynnik przy najwyższej potędze; x₁, x₂, x₃ - pierwiastki wielomianu.

---

W(x)=a(x-2)(x+1)(x-5)

W(3)=40

40=a(3-2)(3+1)(3-5)

40=a*1*4*(-2)

-8a=40

a=-5

Odp. B

=====================

zad 3

W(x)=(4x²+9)(x⁴+1)(-x²+3x-10)

4x²+9=0 - wyrażenia nie można rozłożyć (nie ma pierwiastków)

x⁴+1=0   - wyrażenia nie można rozłożyć (nie ma pierwiastków)

-x²+3x-10=0  - delta ujemna - nie ma pierwiastków

Δ=b²-4ac=3²-4*(-1)*(-10)=9-40=-31<0

Odp. A

=====================

zad 4

W(x)=(2x³-3)²(6x⁹+1)

W(x)=(4x⁶-12x³+9)(6x⁹+1)

W(x)=4x¹⁵-...

[Nie obliczam dalej ponieważ w zadaniu chodzi o stopień wielomianu, czyli o najwyższą potęgę]

=====================

zad 5

W(x)=8x⁴-8

W(x)=8(x⁴-1)

W(x)=8(x²-1)(x²+1)

W(x)=8(x-1)(x+1)(x²+1)

Wilomian W(x) jest podzielny przez każdą kombinację czynników w ostatnim wierszu. 

Odp. D

=====================

zad 6

W(x)=x³-3x+2

a)

[Szukam pierwiastka]

W(1)=1³-3*1+2

W(1)=0

1 - pierwiastek wielomianu, W(x) jest zatem podzielny przez dwumian x+1

(x³-3x+2):(x-1)=x²+x-2

-x³+x²

--------

      x²-3x+2

     -x²+x

     ----------

           -2x+2

            2x-2

           -------

                 0

W(x)=(x-1)(x²+x-2)

x²+x-2=0

Δ=1²+4*1*(-2)=9

√Δ=3

x₁=[-b-√Δ]/2a=[-1-3]/2=-2

x₁=[-b+√Δ]/2a=[-1+3]/2=1

W(x)=(x-1)²(x+2)

Pierwiastki wielomianu:

x₁=1 - pierwiastek dwukrotny

x₂=-3

---

b) 

Q(x)=(x²+a)(x-a+b)

Q(x)=x³-ax²+bx²+ax-a²+ab

Q(x)=x³+x²(b-a)+ax+(ab-a²)

By wielomiany W(x) i Q(x) były równe należy porównać współczynniki przy odpowiednich potęgach:

W(x)=x³-3x+2

Q(x)=x³-x²(a-b)+ax+(ab-a²)

0=b-a   =>  b=a   =>b=-3

-3=a

2=ab-a²  => 2=(-3)*(-3)-(-3)²  =>  2=9-9  =>  2≠0

Odp. Nie istnieją takie a ib by wielomiany W(x) i Q(x) były równe

=====================

zad 7

a)

W(x)=-2x³+3x²+m²x-10

Wielomian jest podzielny przez dwumian x+2 z resztą 1-, czyli można zapisać, że

W(-2)=10

10=-2*(-2)³+3*(-2)²-2m²-10

10=16+12-2m²-10

2m²-8=0

2(m²-4)=0

2(m-2)(m+2)=0

m=2  lub  m=-2

----------

b)

W(1)=0

0=-2*1+3*1+m²-10

0=-2+3+m²-10

m²=9

Wielomian W(x) przyjmuje postać:

W(x)=-2x³+3x²+9x-10

Pierwiastki wielomianu:

(-2x³+3x²+9x-10):(x-1)=-2x²+x+10

  2x³-2x²

------------

         x²+9x-10

        -x²+x

       --------

             10x-10

            -10x+10

           ----------

                    0

W(x)=(x-1)(-2x²+x+10)

-2x²+x+10=0

Δ=b²-4ac=1-4*(-1)*10=1+80=81

√Δ=9

x₁=[-b-√Δ]/2a=[-1-9]/-4=5/2

x₂=[-b+√Δ]/2a=[-1+9]/-4=-2

W(x)=(x-1)(x-5/2)(x+2)

Pierwiastki:

x₁=1

x₂=5/2

x₃=-2

 

Answer 2

1.

Odp. c)

2.Skoro liczby 2,-1,5 są pierwiastkami wielomianu to znaczy, że wielomian W(x) jest podzielny przez dwumiany (x-2);(x+1);(x-5) [TWIERDZENIE BEZOUTA].

Szukany wielomian W(x) jest wielomianem stopnia 3, więc można go przedstawić w postaci iloczynu 3 czynników. 

Zad. 3

Piewiastkiem wielomianu nazywamy taką liczbę, dla której wielomian przyjmuje wartość 0.

 

Zad.4 

Wystarczy pomnożyć najwyższe potęgi x w każdym z nawiasów przez siebie:

Zad.6

a)

Zad. 7

Zad. 5

Odp. d) -4 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.