Zadania w załączniku.... Question from @Karcia1000

January 2019 1 37 Report

Zadania w załączniku

Paawełek Wzór jest następujący: $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}=\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{x}{\sin x}=1$

a)

$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{4x}{3\sin(2x)}=\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{2 \cdot 2x}{3\sin(2x)}=\dfrac{2}{3} \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{2x}{\sin(2x)}=\dfrac{2}{3}$

W drugim wykorzystamy wzór $\cos x - \cos y =-2\sin \dfrac{x+y}{2}\sin \dfrac{x-y}{2}.$

$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\cos x -\cos(5x)}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{-2\sin\frac{x+5x}{2}\sin\frac{x-5x}{2}}{x^2}=\\ \\ =\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{-2\sin(3x)\sin(-2x)}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{2\sin(3x)\sin(2x)}{x^2}= \\ \\ = \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{12\sin(3x)\sin(2x)}{6x^2}=12\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin(3x) \sin(2x)}{3x \cdot 2x}= \\ \\ = 12 \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin(3x)}{3x} \cdot \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin(2x)}{2x}=12 \cdot 1 \cdot 1=12$

W zadaniu kolejnym zauważam, że ten ciąg jest postaci $\cos \dfrac{\pi}{6}, \ \cos\dfrac{2\pi}{6}, \ \cos \dfrac{3\pi}{6}, \ \cos \dfrac{4\pi}{6}, ...$ a jak wiadomo, wartości kosinusa cyklicznie są raz dodatnie raz ujemne (a ciąg przechodzi przez każdą ćwiartkę), stąd ciąg nie jest monotoniczny.

W kolejnym wiadomym jest, że sam ciąg $a_n=\dfrac{1}{n}$ jest malejący (myślę, że nie trzeba tego uzasadniać) więc mamy ciąg zaczynający się od $\hbox{tg} 1$ i dążący aż do tg 0 (czyli do 0). Z własności tangensa jeśli argument maleje, to również ciąg jest malejący.

ostatni ciąg sprawdzam za pomocą tego toku (dla n>1)

$a_n=n^2-n \\ a_{n+1}=(n+1)^2-(n+1)=n^2+2n+1-n-1= n^2+n \\ \\ a_{n+1}-a_n=n^2+n-n^2+n=2n\ \textgreater \ 0$

A zatem ciąg jest rosnący.

Reszta zadań polega tylko i wyłącznie na usuwaniu niewymierności bądź mnożeniu ze zmienionym znakiem

$\lim\limits_{x\to 1} \dfrac{x^2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}=\lim\limits_{x\to 1} \dfrac{(x^2-\sqrt{x})(x^2+\sqrt{x})(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(x^2+\sqrt{x})}= \\ \\ = \lim\limits_{x\to 1} \dfrac{(x^4-x)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)(x^2+\sqrt{x})}=\lim\limits_{x\to 1} \dfrac{x(x^3-1)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)(x^2+\sqrt{x})}= \\ \\ =\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x(x-1)(x^2+x+1)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)(x^2+\sqrt{x})}= \\ \\ = \lim\limits_{x\to 1} \dfrac{x(x^2+x+1)(\sqrt{x}+1)}{x^2+\sqrt{x}}=\dfrac{1 \cdot 3 \cdot 2}{2}=3$

$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{x^2+5}-\sqrt{5}}=\\ \\ =\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{(\sqrt{x^2+1}-1)(\sqrt{x^2+1}+1)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{5})}{(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{5})(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{5})(\sqrt{x^2+1}+1)}= \\ \\ =\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{x^2(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{5})}{x^2(\sqrt{x^2+1}+1)}=\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sqrt{x^2+5}+\sqrt{5}}{\sqrt{x^2+1}+1}=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{5}}{\sqrt{1}+1}=\sqrt{5}$

b)

$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}}{3x}=\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{(\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x})(\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x})}{3x(\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x})}=\\ \\ = \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{2+x-2+x}{3x(\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x})}=\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{2x}{3x(\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x})}= \\ \\ = \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{2}{3(\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x})}=\dfrac{2}{3(\sqrt{2}+\sqrt{2})}=\dfrac{2}{6\sqrt{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{12}=\dfrac{\sqrt{2}}{6}$

c)

$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x+1}}{1-\sqrt{x+1}}= \\ \\ = \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x+1})(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1})(1+\sqrt{x+1})}{(1-\sqrt{x+1})(1+\sqrt{x+1})(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1})}= \\ \\ =\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{(x^2-x)(1+\sqrt{x+1})}{-x(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1})}=\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{x(x-1)(1+\sqrt{x+1})}{-x(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1})}= \\ \\ =\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{(x-1)(1+\sqrt{x+1})}{-(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1})}=$

$...=\dfrac{-(1+\sqrt{1})}{-(\sqrt{1}+\sqrt{1})}=1$

2 votes Thanks 0