Question

Zadania w załączniku, prosze o pomoc potrzebuje na dzisiaj , chociaz kilka zadan , Dam naj obiecuję. , W zadaniu nr 10 prosze zmienic z 25 pi cm2 , na 36 pi cm2, prosze chociaz o zadania które sa najlatwiejsze, zeby nie zajmowac rozwiazujacemu duzo czasu .

ZADANIA SĄ NA POZIOMIE TECHNIKUM , NIE GIMNAZJUM PRZEPRASZAM ZA BŁĄD

Answer 1

zad 1

Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny:

lub

--------------------------

a=3 cm

b=4 cm

1. Długość przeciwprostokątnej (z tw. Pitagorasa):

a²+b²=c²

c²=3²+4²

c²=9+16

c²=25

c=5 cm

---

2. Długość promienia:

r=[a+b-c]/2

r=[3+4-5]/2

r=2 cm

=====================================

zad 2

Trójkąt prostokątny wpisany w okrąg - przciwprostokątna zawiera się w średnicy okręgu.

R=c/2

--------------------------

P=18

a=4

1. Długość drugiej przyprostokątnej:

P=ab/2

b=2P/a

b=2*18/4

b=9

---

2. Długość przeciwprostokątnej (z tw. Pitagorasa):

a²+b²=c²

c²=4²+9²

c²=16+81

c²=97

c=√97

---

3. Promień okręgu:

R=c/2

R=√97/2

=====================================

zad 4

1. Odległość prostej od środka okręgu:

d=|3-(-1)|=|3+1|=|4|=4

--

2. Położenie prostej względem okręgu:

a) dwa punkty wspólne gdy r<d (prosta przecina okrąg w dwóch miejscach)

b) jeden punkt wspólny, gdy r=d (prosta styczna do okręgu)

c) brak punktów wspólnych, gdy r>d (prosta nie przecina okręgu, ani nie jest do niego styczna)

=====================================

zad 5

Każdy trójkąt wpisany w okrąg którego jeden z boków zawarty jest w średnicy jest trójkątem prostokątnym.

--------------------------

c=6 cm

Rozpatrywanym w zadaniu trójkątem jest trójkąt prostokątny równoramienny.

1. Długość przyprostokątnych (a=b) (z tw. Pitagorasa):

a²+a²=c²

2a²=6²

2a²=36  

a²=18

a=3√2 cm

---

2. Pole trójkąta:

P=a²/2

P=18/2

P=9 cm²

=====================================

zad 6

Dane są dwa okręgi o(O, r₁) i k(S, R). 

- Okręgi są rozłączne:

-- wewnętrznie: |OS|<|R-r|

-- zewnętrznie: |OS|>|R-r|

-- współśrodkowe: |OS|=0

- Okręgi, które nie są rozłączne:

-- przecinające się: |R-r|<|AB|<R+r

-- pokrywające się: |AB|=0 i R=r

-- styczne zewnętrznie: |AB|=R+r

-- styczne wewnętrznie: |AB|=|R-r| >0

--------------------------

|OS|=3

R=4

r=2

|4-2|<3<4+2

2<3<6

|R-r|<|OS|<R+r

Odp. Okręgi przecinają się.

=====================================

zad 7

r=10

1. Przekątna prostokąta zawiera się w średnicy okręgu. Jej długość:

d=2r

d=20

---

2. Długości boków prostokąta:

Boki prostokąta wraz z przekątną tworzą trójkąt prostokątny.

a=3x

b=4x

(z tw. Pitagorasa):

a²+b²=d²

(3x)²+(4x)²=20²

9x²+16x²=400

25x²=400

x²=16

x=4

Boki prostokąta mają długość:

a=3*4=12

b=4*4=16

---

3. Pole prostokąta:

P=ab

P=12*16

P=192  [j²]

=====================================

zad 8

Twierdzenie cosinusów:

W każdym trójkącie kwadrat długości dowolnego boku jest róny sumie kwadratów długości pozostałych boków minus podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi:

a²=b²+c²-2ab*cosα

b²=a²+c²-2ac*cosβ

c²=a²+b²-2ab*cosγ

---

Promień okręgu opisanego na dowolnym trójkącie:

---

Wzór na pole trójkąta:

--------------------------

a=10 cm

α=45°

1. Długość ramion trójkąta:

b=c=x

a²=x²+x²-2x*x*cosα

10²=2x²-2x² * √2/2

100=x²(2-√2)

x²=200/(2-√2)

x²=200*(2+√2)/(4-2)

x²=200*(2+√2)/2

x²=100(2+√2)

[Nie wyciągam pierwiastka, ponieważ w każdym kolejnym punkcie korzystam ze wzrorów w których jest iloczyn boków]

---

2. Pole trójkąta:

P=bc*sinα/2

P=(100(2+√2) * √2/2)/2

P=50√2(2+√2)/2

P=25√2(2+√2)

P=25(2√2+2)

P=50(√2+1) cm²

---

3. Promień okręgu:

R=abc/4P

R=10*100(2+√2)/4*25√2(2+√2)

R=10/√2 

R=10√2/2

R=5√2 cm

=====================================

zad 9

r=13 cm

1. Długość przeciwprostokątnej:

c=2r

c=26 cm

---

2. Długość przyprostokątnych:

a=5x=5*2=10 cm

b=12x=12*2=24 cm

(z tw. Pitagorasa):

a²+b²=c²

(5x)²+(12x)²=26²

25x²+144x²=676

169x²=676

x²=4

x=2

---

2. Pole trójkąta:

P=ab/2

P=10*24/2

P=120 cm²

=====================================

zad 10

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym:

Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny:

Wysokość w trójkącie równobocznym:

Pole trójkąta równobocznego:

--------------------------

P=36π cm²

a) 

1. Promień okręgu: P=πr²

36π=πr²

r²=36

r=6 cm

---

2. Wysokość trójkąta:

R=2/3 h

h=3R/2

h=3*6/2

h=9 cm

---

3. Pole trójkąta:

-- długość boku:

h=a√3/2

9=a√3/2

a√3=18

a=18/√3 

a=6√3/3 cm

-- pole:

P=a²√3/4

P=(6√3)²√3/4

P=108√3/4

P=27√3 cm²

----------------

b) 

1. Promień okręgu wpisanego w trójkąt:

r=h/3

r=9/3

r=3 cm

---

2. Pole koła wpisanego w trójkąt:

P=πr²

P=π*3²

P=9π cm²

--------------------------

P=25π cm²

a) 

1. Promień okręgu:

P=πr²

25π=πr²

r²=25

r=5 cm

---

2. Wysokość trójkąta:

R=2/3 h

h=3R/2

h=15/2 cm

---

3. Pole trójkąta:

-- długość boku:

h=a√3/2

15/2=a√3/2 a√3=15

a=15/√3 

a=15√3/3

a=5√3 cm

-- pole:

P=a²√3/4

P=(5√3)²√3/4

P=75√3/4 cm²

----------------

b) 

1. Promień okręgu wpisanego w trójkąt:

r=h/3

r=15/2 * 1/3

r=5/2 cm

---

2. Pole koła wpisanego w trójkąt:

P=πr²

P=π*(5/2)²

P=25π/4 cm²

=====================================

zad 11

P=50√2

α=45°

1. Romb składa się z dwóch trójkątów równoramiennych. Pole jednego trójkąta to:

Pt=P/2

Pt=25√2

---

2. Długość boku rombu:

P=a² *sinα/2

25√2=(a² * √2/2)/2

50√2=a²√2/2

100=a²

a=10

---

3. Wysokość rombu:

P=ah

h=P/a

h=50√2/10

h=5√2

=====================================

zad 12

a=6 

b=10

1. Długość wysokości trapezu:

-- Spodki wysokości dzielą dłuższą podstawę w następujący sposób:

b=a+x

10=6+x

x=4

-- długość wysokości:

tgα=h/x

tgα=3

3=h/4

h=12

---

2. Pole trapezu:

P=[(a+b)*h]/2

P=[(6+10)*12]/2

P=16*6

P=96  [j²]