Zadania w załączniku. Proszę o rozwiązanie wraz z obliczeniami i wytłumaczeniem.... Question from @Onlyperfect

December 2018 1 12 Report

Zadania w załączniku.
Proszę o rozwiązanie wraz z obliczeniami i wytłumaczeniem

Cyna4 Witaj.

Zadanie 11.

$a_{n}=(n+3)^{2}-n^{2}+3n-1=n^{2}+6n+9-n^{2}+3n-1=9n+8\\\\a_{n+1}=9(n+1)+8=9n+9+8=9n+17\\\\a_{n+1}-a_{n}=9n+17-(9n+8)=9=const$

Mamy stałą różnicę, więc dany ciąg jest arytmetyczny.

Zadanie 12.

$a_{n}=\frac{2^{3n+1}}{3^{n}}=\frac{2\cdot(2^{3})^{n}}{3^{n}}=\frac{2\cdot8^{n}}{3^{n}}=2\cdot(\frac{8}{3})^{n}\\\\a_{n+1}=2\cdot(\frac{8}{3})^{n+1}\\\\\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2\cdot(\frac{8}{3})^{n+1}}{2\cdot(\frac{8}{3})^{n}}=\frac{8}{3}=const$

Mamy stały iloraz, zatem ciąg jest geometryczny.

Zadanie 13.

Układamy najpierw układ równań i wyznaczamy najpierw pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego, a następnie wzór ogólny ciągu:

$\left \{ {{a_{2}+a_{4}=22} \atop {a_{21}=47}} \right. \\\\ \left \{ {{a_{1}+r+a_{1}+3r=22} \atop {a_{1}+20r=47}} \right. \\\\ \left \{ {{2a_{1}+4r=22} \atop {a_{1}+20r=47}} \right. \\\\ \left \{ {{a_{1}+2r=11} \atop {-a_{1}-20r=-47}} \right. \\+-------\\\\-18r=-36\\r=2\\\\ \left \{ {{a_{1}=7} \atop {r=2}} \right.$

$a_{n}=a_{1}+r(n-1)\\\\a_{n}=7+2(n-1)\\\\a_{n}=2n+5$

Wyznaczamy liczbę wyrazów, które w sumie dają 2800:

$S_{n}=2800\\\\S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n=\frac{a_{1}+a_{1}+r(n-1)}{2}\cdot n=\frac{7+2n+5}{2}\cdot n\\\\\frac{2n+12}{2}\cdot n=2800\\\\n(n+6)=2800\\\\n^{2}+6n-2800=0\\\\\Delta=6^{2}-4\cdot1\cdot(-2800)=36+11200=11236\\\\\sqrt{\Delta}=106\\\\n_{1}=\frac{106-6}{2}=\frac{100}{2}=50\\\\n_{2}=\frac{-106-6}{2}=\frac{-112}{2}=-56\notin N_{+}$

Jest to zatem suma 50 pierwszych wyrazów ciągu.

Zadanie 14.

Zapisujemy układ równań, który wynika z warunków podanych w treści zadania:

$\left\{\begin{array}{l} z-y=y-x\ =>\ x+z=2y\\x+y+z=69\ =>\ 3y=69\ =>\ y=23\\\frac{z}{y-8}=\frac{y-8}{x-8,5} \end{array}$

Mamy zwykły układ z 2 niewiadomymi:

$\left \{ {{x+z=46} \atop {\frac{z}{15}=\frac{15}{x-8,5}}} \right. \\\\ \left \{ {{x+z=46} \atop {xz-8,5z=225}} \right. \\\\ \left \{ {{x=46-z} \atop {z(46-z)-8,5z=225}} \right. \\---------\\\\46z-z^{2}-8,5z=225\\\\z^{2}-37,5z+225=0$

$2z^{2}-75z+450=0\\\\\Delta=(-75)^{2}-4\cdot2\cdot450=5625-3600=2025\\\\\sqrt{\Delta}=45\\\\z_{1}=\frac{45+75}{4}=\frac{120}{4}=30\\\\z_{2}=\frac{-45+75}{4}=\frac{30}{4}=7,5$

Otrzymujemy zatem 2 takie ciągi:

$\left\{\begin{array}{l} x=16\\y=23\\z=30 \end{array}\ \ \ lub\ \ \ \left\{\begin{array}{l} x=38,5\\y=23\\z=7,5\end{array}$

1 votes Thanks 1