Question

Zadania w załączniku proszę o dokładne wytłumaczenie ;)

Answer 1

z.6

2 x + 2y = 120 + 4 =  124   - obwód prostokąta

zatem

x + y = 62

y = 62 - x

-----------

Pole prostokąta

P = x*y = x* ( 62 - x)

P( x) = - x^2 + 62 x

P  - jest funkcja kwadratową o współczynniku ujemnym przy x , ma zatem

największą wartość   dla   x = p = - 62 / [ 2* ( -1)] = 31

Wtedy  y =   62 -  31 = 31

Ten prostokąt powinien być kwadratem o boku długości  31 m.

=====================================================

z.7

I AB I = 20 cm

I AC I = I BC I = 12,5 cm

h - wysokość  tego trójkąta

Mamy ( z tw. Pitagorasa)

h^2 + 10^2 = 12,5^2

h^2 = 156,25 - 100 = 56,25

h = 7,5

h = 7,5 cm

-----------------

x  -  długość boku prostokąta leżacego na AB

y - szerokość tego prostokąta

Mamy

P = x*y

oraz  z podobieństwa trójkątów

( h - y) / x  =  h  / 20  czyli    ( 7,5 - y ) / x  = 7, 5 / 20

7,5 x = 20*( 7,5 - y)

7,5 x = 150 - 20 y

20 y = 150 - 7,5 x  / : 20

y = 7,5 - 0,375 x

zatem

P = x*y = x* [ 7,5 - 0,375 x ] = - 0,375 x^2 + 7,5 x

czyli

P( x) = - 0,375 x^2 + 7,5 x

--------------------------------------

- 0,375 < 0  więc ta funkcja posiada największą wartośc dla

  x = p =  - 7,5 : [ 2*( - 0,375)]  = - 7,5 : ( - 0,75)  =   10

Wtedy 

  y =  7,5 - 0,375*10 = 7,5 - 3,75 =  3,75

Odp. Ten prostokąt będzie kwadratem o boku długości 3,75 cm.

======================================================

 

 z.8

 

a = I AB I

b = I AC I = I BC I = 6 cm

zatem

a = 6 p(2) cm

---------------------

h - wysokośc tego trójkata na bok AB

h = (1/2) a = 3 p(2) cm

-------------------------------

x  - długość boku prostokąta leżącego na AB

y - szerokość prostokąta

Mamy

x / a = ( h - y) / h

czyli

x / [ 6 p(2) ] = [ 3 p(2) - y] /  3p(2)

więc

3 p(2) x = 6 p(2)*[ 3 p(2) - y ]

3 p(2) x = 36 - 6 p(2) y

6 p(2) y = 36 - 3 p(2) x  / : 6 p(2)

y = 3 p(2) - 0,5 x

----------------------

Pole prostokąta

P = x*y = x*[ 3 p(2) - 0,5 x  ]  = 3 p(2) x - 0,5 x^2

P( x) = - 0,5 x^2 + 3 p(2) x

- 0,5  < 0  więc funkcja  P  posiada największą wartośc dla  x = p = - 3 p(2) / [ 2*( - 0,5)] =

= 3 p(2)

Wtedy  y = 3 p(2) - 0,5* 3 p(2) = 1,5 p(2)

Odp.  Wymiary prostokąta o największym polu:  3 p(2) cm ;  1,5 p(2)  cm.

===========================================================

 

x  = I AB I

y  = I AC I = I  BC I

Mamy

x  + 2 y = 26  =  2 y = 26  - x

y = 13 - 0,5 x

------------------

r1  =  x/2

r2 = y /2 = 6,5 - 0,25 x

Suma pól półkoli zbudowanych na bokach tego trójkąta równoramiennego

P = 0,5 pi*r1^2 +  2* 0,5 pi*r2^2

czyli

P = 0,5 pi *( x/2)^2 + pi *[ 6,5 - 0,25 x]^2 = 0,5 pi* [ x^2 / 4] + pi*[42,25 - 3,25 x + 0,0625 x^2 ] =

= 0,125 pi *x^2 + 42,25 pi - 3,25 pi*x + 0,0625 pi *x^2 =

= 0,1875 pi*x^2 - 3,25 pi* x + 42,25 pi

-------------------------------------------------------

0,1875 > 0  , więc funkcja  P  posiada najmniejszą wartość

dla x = p = [ 3,25 pi] / [ 2* 0,1875 pi ] = 3,25 : 0,375 = 8,(6)

 

Odp.  x =  około  8,67  cm  oraz  y = 8,67 cm.

Jest to trójkąt równoboczny.

------------------------------------------------------------------

p(2)  - pierwiastek kwadratowy  z  2