Question

ZADANIA SĄ NA POZIOMIE ROZSZERZONYM 1 LICEUM

proszę w załącznikach o rysunki do zadań i dokładnie wyjaśnić jak co ma być. rozpisać dokładnie na założenie, dowód, tezę.

zad.1

W trójkącie ABC prowadzimy środkową CD. Udowodnij, że jeśli |BC|>|AC|, to środkowa CD tworzy większy kąt z bokiem AC niż z bokiem BC.

zad.2

Z dowolnie wybranego punktu na boku trójkąta równobocznego prowadzimy odcinki prostopadłe do dwóch boków. Wykaż, że suma ich długości równa się wysokości trójkąta.

zad.3

Wykorzystując wynik zadania poprzedniego, uzasadnij, że jeśli z punktu wewnętrzego trójkąta równobocznego poprowadzimy odcinki prostopadłe do boków trójkąta, to suma długości tych odcinków jest równa wysokości trójkąta równobocznego.

Answer 1

Zad. 1

Dany jest dowolny trójkąt ABC, w którym prowadzimy środkową CD

Założenie:

Dowolny trójkąt ABC, w którym prowadzimy środkową CD i |BC|>|AC|

Teza:

Środkowa CD tworzy większy kąt z bokiem AC niż z bokiem BC, czyli |∢ACD| > |∢BCD|

 

Udowodnić:

|BC|>|AC| ⇒ |∢ACD| > |∢BCD|

 

Dowód I

Wprowadzamy oznaczenia(patrz załącznik):

długość boku AB: |AB| = a

długość boku BC: |BC| = b

długość boku AC:|AC| = c

długość środkowej: |CD| = s

długość wysokości CE opuszczonej na bok AB: |CE| = h

miara kąta pomiędzy bokiem AC i środkową CD: |∢ACD| = α

miara kąta pomiędzy bokiem BC i środkową CD: |∢BCD| = β

 

Stąd:

 

Pole trójkąta równe jest połowie długości dwóch sąsiadujących boków i sinusa kąta zawartego pomiędzy nimi, stąd:

 

 

Zatem:

z założenia: , czyli

stąd:

[sin β > 0, bo 0° < β < 90°]

[ funkcja sinus w (0°; 180°) jest rosnąca, czyli większe wartości osiąga dla większych argumentów]

Zatem:

|∢ACD| > |∢BCD|

 

Dowód II

Rysujemy półprostą CD i odkładamy na niej odcinek DE, taki, że |DE|=|CD|.

Patrz załącznik

Rozpatrujemy trójkąt CBE.

Trójąkty ADC i BDE sa przystające (bkb: |AD| = |BD|= ½a, |CD| = |DE| = s, kąty przy wierzchołku D w tych trókątach są równe, bo to kąty wierzchołkowe). Stąd:

|AC| = |BE| = c oraz |∢ACD| = |∢BDE| = α

Rozpatrujemy trójkąt BCE.

W ΔBCE naprzeciw boku BC jest kąt BED (|∢BDE| = α), a naprzeciw boku BE jest kąt BCD (|∢BCD| = β), zatem na podstawie tw. "W trójkącie naprzeciw większego boku leży większy kąt", otrzymujemy:

z założenia:

|BC|>|AC|, czyli |BC|>|BE| stąd α > β, czyli |∢ACD| > |∢BCD|

|BC|>|AC| ⇒ |∢ACD| > |∢BCD|

 

Zad. 2

Założenie:

Z dowolnie wybranego punktu na boku trójkąta równobocznego prowadzimy odcinki prostopadłe do dwóch boków.

Teza:

Suma długości odcinków porowadzonych z dowolnie wybranego punktu na boku trójkąta równobocznego jest równa wysokości tego trójkąta.

 

Oznaczenia (patrz załącznik):

długość boków trójkąta ABC: |AB| = |BC| = |AC|= a

długość wysokości trójkąta ABC: |CE| = h

dowolny punkt wybrany na boku trójkąta ABC: D ∈ BC

odcinek prostopadły do boku AB: |DF| = h₁

odcinek prostopadły do boku AC: |DG| = h₂

 

Zatem teza przyjmuje postać: |CE| = |DF| + |DG|, czyli h = h₁ + h₂

 

Dowód:

Punkt D ∈ BC wyznaczył dwa trójkąty: ΔABD i ΔACD

Odcinek DF jest wysokością ΔABD, odcinek DG to wysokość ΔACD. Podstawy tych trójkątów maja długość a. Stąd:

 

Zatem:

 

Zad. 3

Założenie:

Z punktu wewnętrzego trójkąta równobocznego poprowadzimy odcinki prostopadłe do boków trójkąta.

Teza:

Suma długości prostopadłych odcinków poprowadzonych z punktu wewnętrzego trójkąta równobocznego jest równa wysokości tego trójkąta równobocznego.

 

Oznaczenia (patrz załącznik):

długość boków trójkąta ABC: |AB| = |BC| = |AC|= a

długość wysokości trójkąta ABC: |CE| = h

dowolny punkt znadujący się w wewnątrz trójkąta ABC: D

odcinek prostopadły do boku AB: |DF| = h₁

odcinek prostopadły do boku AC: |DG| = h₂

odcinek prostopadły do boku BC: |DH| = h₃

 

Zatem teza przyjmuje postać: |CE| = |DF| + |DG| + |DH|, czyli h = h₁ + h₂ + h₃

 

Dowód:

Punkt D wyznaczył trzy trójkąty: ΔABD, ΔACD i ΔBCD

Odcinek DF jest wysokością ΔABD, odcinek DG to wysokość ΔACD, odcinek DH to wysokość ΔBCD. Podstawy tych trójkątów maja długość a. Stąd:

 

Zatem: