zad.2 Oblicz: a) sin 120 b)cos 240 c) tg 135 d) ctg 315 e) sin f) cos -zad.7 Oblicz: a) sin 120 b) .... Question from @dotakubis

dotakubis @dotakubis

November 2018 1 20 Report

zad.2 Oblicz:

a) sin 120

b)cos 240

c) tg 135

d) ctg 315

e) sin $\frac{2\pi}{3}$

f) cos - $\frac{\pi}{4}$

zad.7 Oblicz:

a) sin 120

b) cos 110

c) ctg 150

zad.15 Oblicz x, jeśli $log_{2}(log_\sqrt{2}} x) = 2$

unicorn05 Zad2.
W zadaniach tego typu korzystamy z odpowiednich twierdzeń dotyczących wzorów redukcyjnych,
lub pamiętamy o dwóch zasadach:
1. znak funkcji po redukcji zależy od tego, w której ćwiartce znajduje się ramię kąta początkowego
(W pierwszej ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus)
2. Jeśli przy redukcji korzystamy z parzystej wielokrotności kąta 90° (2·90°=180° lub 4·90°=360°) lub $\frac{ \pi}{2}$ ( $2\cdot\frac\pi2=\pi$ lub $4\cdot\frac\pi2=2\pi$ ) to funkcja zostaje bez zmian.
Jeśli korzystamy z nieparzystych wielokrotności: 1·90°=90°, 3·90°=270°, $1\cdot\frac\pi2=\frac\pi2$ , $3\cdot\frac\pi2=\frac32\pi$ , to funkcja początkowa przechodzi w cofunkcję: sinus→cosinus, cosinus→sinus, tangens→cotangens i cotangens→tangens

a) α=120° to druga ćwiartka (90°<α<180°), więc znak zostaje bez zmian

Korzystając z parzystej wielokrotności otrzymamy:
$\sin120^o=\sin(180^o-60^o)=\sin60^o= \frac{\sqrt3}2$

a z nieparzystej:
$\sin120^o=\sin(90^o+30^o)=\cos30^o= \frac{\sqrt3}2$

Dlatego nie ma znaczenia, który sposób wybierzemy. Ostateczny wynik zawsze będzie taki sam.

b) α=240° to trzecia ćwiartka (180°<α<270°)
W trzeciej ćwiartce cosinus jest ujemny, więc funkcja po redukcji zmieni znak na przeciwny.
$\cos240^o=\cos(180^o+60^o)=-\cos60^o=-\frac12$
lub
$\cos240^o=\cos(270^o-30^o)=-\sin30^o=-\frac12$

c) α=135° ⇒ II ćwiartka ⇒ funkcja tangens zmieni znak

$tg 135^o=tg(180^o-45^o)=-tg45^o=-1$

d) α=315° ⇒ IV ćwiartka (270°<α<360°) ⇒ cotangens zmienia znak

$ctg315^o=ctg(270^o+45^o)=-tg45^o=-1$

e) $\alpha=\frac{2\pi}{3}$ ⇒ II ćwiartka ⇒ sinus nie zmienia znaku

$\sin \frac{2\pi}{3}=\sin(\pi-\frac\pi3)=\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}2$

f)
Tutaj korzystamy z faktu że cosinus jest funkcją parzystą, więc cos(-α)=cosα

$\cos (-\frac{\pi}{4})=\cos\frac\pi4=\frac{\sqrt2}2$

Zad.7.

a) α=120° ⇒ II ćwiartka ⇒ sinus bez zmiany znaku

$\sin120^o=\sin(180^o-60^o)=\sin60^o= \frac{\sqrt3}2$

b) α=110 ⇒ II ćwiartka ⇒ cosinus zmienia znak

$\cos110^o=\cos(180^o-70^o)=-\cos70^o= -0,342$

Ponieważ reszta przykładów nie wymagała korzystania z tablic, myślę, że to miał być cos210°
α=210° ⇒ III ćwiartka ⇒ cosinus zmienia znak
$\cos210^o=\cos(180^o+30^o)=-\cos30^o=-\frac{\sqrt3}2$

c) α=150° ⇒ II ćwiartka ⇒ cotangens zmienia znak

$ctg150^o=ctg(180^o-30^o)=-ctg30^o=-\sqrt3$

Zad. 15
Korzystamy dwukrotnie z definicji logarytmu: $\log_ab=c\quad\iff\quad a^c=b$ ,
zaczynając od "zewnętrznego" logarytmu,
a następnie z działań na potęgach: $a^{m\cdot n}=(a^m)^n$

$log_{2}(log_\sqrt{2}} x) = 2\qquad\{a=2,\ b=\log_{\sqrt2}x, \ c=2\}\\\\log_{2}(log_\sqrt{2}} x) = 2\qquad\iff\qquad 2^2=\log_{\sqrt2}x
\\\\~\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ \{a=\sqrt2,\ b=x,\ c=2^2=4\} \\\\ \log_{\sqrt2}x=4\qquad\iff\qquad (\sqrt2)^4=x\\\\ x=(\sqrt2)^4=[(\sqrt2)^2]^2=2^2=4$

5 votes Thanks 2