zad.1W ciągu geometrycznym o wszystkich wyrazach różnych od zera suma pewnych kolejnych dwóch wyrazó.... Question from @Olcia214

October 2018 1 9 Report

zad.1

W ciągu geometrycznym o wszystkich wyrazach różnych od zera suma pewnych kolejnych dwóch wyrazów jest równa 0. Wykaż, że suma początkowych 1000 wyrazów jest równa 0.

Zad.2

Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Pole tego trójkąta jest równe 56. Wyznacz obwód trójkąta.

Zad.3

Iloraz ciągu geometrycznego ( $a_{n}$ ) jest równy q= $\sqrt{5}$ -2. Wykaż, że spełniony jest warunek

$a_{n}$ + $_1$ = $\frac{a_{n}-a_{n}+_{2}}{4}$ .

heh

zad 1

W ciągu suma pewnych dwóch kolejnych wyrazów różnych od zera jest równa zero, czyli można zapisać:

$a_{n+5}+a_{n+6}=0$

Stąd wynika, że:

$a_{n+5}=-a_{n+6}$

Czyli począwszy od n=1, wyrazy:

a₁+a₂=0 => a₁=-a₂

a₃+a₄=0 => a₃=-a₄

...

a₉₉₉+a₁₀₀₀=0 => a₉₉₉=-a₁₀₀₀

a₁+a₂+a₃+a₄+ ... +a₉₉₉+a₁₀₀₀=

=(-a₂)+a₂+(-a₄)+a₄+ ... +(-a₁₀₀₀)+a₁₀₀₀=0

Czyli każdy kolejny wyraz jest przeciwny do poprzedniego (ciąg stały, w którym iloraz q=-1).

==========================

zad 2

Wzór Herona na pole trójkąta:

$P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\\ p=\frac{a+b+c}{2}$

-----------------------------

Boki tego trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny, czyli można zapisać długości następująco:

a=a₁

b=a₂=a₁+r

c=a₃=a₁+2r

---------------

Obwód wynosi:

Ob=a+b+c=3a₁+3r

---------------

Wiadomo, że pole jest równe 56 [j²], czyli można zapisać:

[Z uwagi na łatwiejszy zapis roznijam wzór Herona na mniejsze częci]

$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3a_{1}+3r}{2}\\ p-a=\frac{3a_{1}+3r}{2}-a_{1}=\frac{3a_1+3r-2a_1}{2}=\frac{a_1+3r}{2}\\ p-b=\frac{3a_{1}+3r}{2}-(a_{1}+r)=\frac{3a_{1}+3r-2a_{1}-2r}{2}=\frac{a_{1}+r}{2}\\ p-c=\frac{3a_{1}+3r}{2}-(a_{1}+2r)=\frac{3a_{1}+3r-2a_{1}-4r}{2}=\frac{a_{1}-r}{2}\\$

Obwód trójkąta jest równy:

$56=\sqrt{\frac{3a_{1}+3r}{2}*\frac{a_{1}+3r}{2}*\frac{a_{1}+r}{2}*\frac{a_{1}-r}{2}}\\ 56^{2}=(3a_{1}+3r)*\frac{(a_{1}+3r)(a_{1}+r)(a_{1}-r)}{16}\\ \frac{16*56^{2}}{(a_{1}+3r)(a_{1}+r)(a_{1}-r)}=3a_{1}+3r\\ 3a_{1}+3r=\frac{2^{10}*7^{2}}{(a_{1}+3r)(a_{1}+r)(a_{1}-r)}$

2¹⁰*7²=50176

========================

zad 3

Wzór na an-ty wyraz ciągu geometrycznego:

$a_{n}=a_{1}*q^{n-1}$

-------------------------

Kolejno można rozpisać wyrazy:

$a_{n+1}=a_{1}*q^{n}\\ a_{n+2}=a_{1}*q^{n+1}$

q=√5-2

$a_{n+1}=\frac{a_{n}-a_{n+2}}{4}\\ a_{1}*(\sqrt{5}-2)^{n}=\frac{a_{1}*(\sqrt{5}-2)^{n-1}-a_{1}*(\sqrt{5}-2)^{n+1}}{4}\\ a_{1}*(\sqrt{5}-2)^{n}=\frac{a_{1}*(\sqrt{5}-2)^{n}*(\sqrt{5}-2)^{-1}-a_{1}*(\sqrt{5}-2)^{n}*(\sqrt{5}-2)^{1}}{4}\\$

$a_{1}(\sqrt{5}-2)^{n}=\frac{a_{1}(\sqrt{5}-2)^{n}[\frac{1}{\sqrt{5}-2}-(\sqrt{5}-2)]}{4}\\ a_{1}(\sqrt{5}-2)^{n}=\frac{a_{1}(\sqrt{5}-2)^{n}[\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}-\sqrt{5}+2]}{4}\\ a_{1}(\sqrt{5}-2)^{n}=\frac{4a_{1}*(\sqrt{5-2})^{n}}{4}\\ a_{1}(\sqrt{5}-2)^{n}=a_{1}(\sqrt{5}-2)^{n}$