Question

Zad.1

Podstawy trapezu równoramiennego mają długość 6√2 i 8√2, a przekątne tego trapezu są prostopadłe.Oblicz pole i obwud tego trapezu.

Zad.2

W trujkąt ABC wpisano okrąg punkty styczności tego okręgu z bokami AB BC CA

oznaczono odpowiednio K,L,M.Oblicz kąty trujkąta A,B,C wiedząc że

KLM=80

LMK=60

MKL=40

Za najlepsze rozwiązanie daje najlepsze!!!!!

Answer 1

 zad1

 

Niech ABCD będzie danym trapezem.

Mamy

I AB I = 8 p(2)

I CD I = 6 p(2)

O - punkt przecięcia się przekątnych.

Ponieważ przekątne są prostopadłe, zatem

Trójkąty ABO i CDO są prostokątne i równoramienne, a trójkąty AOD i BOC są

prostokatne.

Ponieważ I AB I = 8 p(2), to I AO I = I BO I = 8

( boki kwadratu o przekątnej AB)

Ponieważ I CD I = 6 p(2) , to ICO I = I DO I = 6

( boki kwadratu o przekatnej CD )

Pole trapezu ABCD jest równe

P = P ABO + P CDO + P AOD +P BOC

czyli

P = (1/2)*8^2 + (1/2)* 6^2 + (1/2)*8*6 + (1/2)*8*6 =

= 32 + 18 + 24 + 24 = 98

P = 98

======

Niech I BC I = I AD I = c  , zatem

c^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100

c = 10

=====

Obwód trapezu

L = 8 p(2) = 6 p(2) + 2*10 = 14 p(2) + 20

Odp. L = 20 + 14 p(2)

==================

p(2) - pierwiastek kwadratowy z 2
zad2

 

Wprowadźmy kilka oznaczeń:
D - punkt styczności na boku AC
E - punkt styczności na boku AB
F - punkt styczności na boku BC
x,y,z - szukane długości odcinków

Skorzystamy na początek z własności stycznych do okręgu. Mianowicie na stycznych wychodzących z jednego punktu poza okręgiem powstają równe odcinki o początku w tym punkcie i końcach w punktach styczności. Czyli
|AE| = |AD| = x
|EB| = |BF| = y
|CD| = |CF| = z

Ponadto:
|AB| = 20 = x + y
|AC| = 16 = x + z
|BC| = 32 = y + z

Mamy układ trzech równań z trzema niewiadomymi:
20 = x + y , stąd x = 20 - y
16 = x + z
32 = y + z

16 = 20 - y + z
32 = y + z

-4 = -y + z
32 = y + z
_________ +
28 = 2z
z = 14

32 = y + 14
y = 18

x = 20 - 18
x = 2

Sprawdzenie:
|AB| = x + y = 2 + 18 = 20
|AC| = x + z = 2 + 14 = 16
|BC| = y + z = 18 + 14 = 32

Zatem punkty styczności podzieliły boki na odcinki o długości: 2, 18, 14, przy czym:
AB na 2 i 18;
AC na 2 i 14;
BC na 18 i 14.