Question

Zad1
wyznacz takie liczby x,y aby ciąg(27,x,y) był geometryczny, a ciąg (x,y,-3) arytmetyczny.

zad2
dane są cztery liczby ustawione w ciąg. trzy pierwsze tworzą ciąg geometryczny, a trzy ostatnie arytmetyczny. suma pierwszej i czwartej jest równa 35, a suma drugiej i trzeciej liczby jest równa 30. wyznacz te liczby.

Answer 1

ZADANIE 1
27,x,y - kolejne wyrazy ciagu geometrycznego
x,y, 3 - kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego

Korzystam z własności ciągu geometrycznego : x : 27 = y :x
korzystam z własnosci ciagu arytmetycznego : y-x = 3-y


Powstaje układ 2 równań z 2 niewiadomymi;
y-x = 3-y
x : 27 = y :x

y-x+y =3
27y = x²

2y -x =3
27y =x²

-x = 3-2y /:(-1)
27y = x²

x =2y -3
27y =(2y-3)²

x =2y -3
27y = 4y² -12y +9

x =2y -3
27y - 4y² +12y -9 =0

x= 2y -3
4y²-12y +9 -27y =0

x =2y -3
4y² -39y +9 =0


z drugiego równania obliczam Δ i y₁ oraz y₂
a =4
b =-39
c= 9
Δ = (b²-4ac)
Δ = (-39)² -4*4*9= 1521 -144 =1377
√Δ =√1377 = √81*√17
√Δ= 9√17

y₁ = (-b-√Δ):2a
y₁=[-(-39) -9√17)]: 2*4 = (39-9√17) :8

y₂ = (-b-√Δ):2a
y₂ = =[-(-39) +9√17)]: 2*4 = (39+9√17) :8


teraz obliczam x₁ i x₂
x₁ = 2y -3
x₁ = 2(39-9√17) :8 - 3 =(39-9√17) :4 -3 = 39/4 - (9/4)*√17 -3 =27/4 -(9/4)*√17
x₁ = (9/4)*[ 3 -√17]
x₂ =2 (39+9√17) :8 -3 = (39+9√17) :4 -3 = 39/4 +(9/4)*√17 -3 =27/4+(9/4)*√17
x₂ = (9/4)*[ 3 +√17]

Odp.
x₁ = (9/4)*[ 3 -√17] i y ₁=(39-9√17) :8 lub
x₂ = (9/4)*[ 3 +√17] i y ₂ = (39+9√17) :8



















ZADANIE 2
dane są cztery liczby ustawione w ciąg :
a,b,c,d

suma pierwszej i czwartej liczby jest rowna 35 :
a + d = 35
d= 35 -a

suma drugiej i trzeciej liczby jest równa 30
b + c = 30
c = 30 - b

czyli mamy liczby
a, b , 30-b , 35-a

trzy ostatnie tworzą ciąg arytmetyczny :
b, 30-b, 35-a

(30-b) - b = (35-a) - (30-b)
30 -b -b = 35 -a - 30 + b
30 - 2b = 5 - a + b
a = 5 + b - 30 + 2b
a = 3b - 25

trzy pierwsze tworzą ciąg geometrycny :
a,b, 30-b

b/a = (30-b)/b
b * b = (30-b) * a
podstawiam a=3b - 25
b^2 = (30-b)(3b-25)
b^2 = 90b - 3b^2 - 750 + 25b
b^2 = -3b^2 + 115b - 750
4b^2 - 115b + 750 = 0
delta=(-115)^2 - 4 * 4 * 750 = 1225
pierw(delta)= 35
b1=(115-35)/8 =10

b2= (115 +35)/8=18,75

mamy dwa przypadki
1)
a=3b-25=3 * 10 - 25 = 5
b=10
c=30-b=30-10=20
d=35-a=35-5=30

2)
a=3b - 25 = 3 * 18,75 - 25 = 31,25
b=18,75
c=30-b=30-18,75=11,25
d=35-a=35-31,25=3,75