Zad.1 W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym suma długości jego krawędzi jest 48 cm, a pole powierzchni całkowitej 90cm2 . Oblicz długość krawędzi. Wykonaj rysunek do zadania.
Zad.2 Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 12cm i tworzy z krawędzią boczną kąt o mierze 60 stopni. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.Wykonaj rysunek do zadania.
Zad.3 Podstawą graniastosłupa prostego jest romb , którego bok ma długość 5cm, a kąt ostry ma miarę 60 stopni. Krótsza przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 30 stopni. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Wykonaj rysunek do zadania
Zad. 4 Pole powierzchni sześcianu jest równe 96cm2 . Oblicz długość przekątnej tego sześcianu oraz jego objętość .Wykonaj rysunek do zadania.
z.1
a - długośc boku kwadratu ) podstawy graniastosłupa )
h - wysokośc graniastosłupa
Mamy
8 a + 4 h = 48 / : 4
2 Pp + Pb = 90
--------------------------
2 a + h = 12
2 a^2 + 4a *h = 90 / : 2
------------------------
h = 12 - 2 a
a^2 + 2a*(12 - 2 a) = 45
----------------------------------
h = 12 - 2 a
a^2 + 24 a - 4 a^2 = 45
---------------------------------
3 a^2 - 24 a + 45 = 0 / : 3
a^2 - 8 a + 15 = 0
delta = ( -8)^2 - 4*1*15 = 64 - 60 = 4
p (delty) = 2
a = [ 8 - 2]/2 = 3 lub a = ( 8 + 2)/2 = 5
oraz
h = 12 - 2*3 = 6 lub h = 12 - 2*5 = 2
Odp.
a = 3, h = 6 lub a = 5, h = 2
======================================
z.2
h - wysokośc graniastosłupa
a - długośc boku trójkąta równobocznego ( podstawy graniastosłupa)
k = 12
Mamy
h/k = sin 30 st = 1/2
h/12 = 1/2
h = 6
h = 6 cm
========
a/k = cos 30 st
a/12 = p(3)/2
2 a = 12 p(3)
a = 6 p(3)
a = 6 p(3) cm
===============
Objętość
V = Pp*h = [ a^2 p(3)/4]*h
V = [ ( 6 p(3))^2 / 4 ]* 6 = [ (36*3)/4] * 6 = 27*4 = 108
V = 108 cm^3
=================
Pole powierzchni
Pc = 2 Pp + Pb = 2 *[ a^2 p(3)/4 ] + 3 a*h = 0,5 *a^2 p(3) + 2 a*h
Pc = 0,5*[ 6 p(3)]^2 *p(3) + 2*6 p(3)*6 = 0,5*36*3 p(3) + 72 p(3) =
= 54 p(3) + 72 p(3) = 126 p(3)
Pc = 126 p(3) cm^2
===================
z.3
a = 5 cm - długośc boku rombu
alfa = 60 st
beta = 30 st
h - wysokośc graniastosłupa
Mamy
Pp - pole rombu
Pp = a*a* sin 60 st = 5*5*p(3)/2 = 12,5 p(3)
Pp = 12,5 p(3) cm^2
======================
e,f - przekatne rombu
zatem
0,5 e*f = Pp = 12,5 p(3)
e*f = 25 p(3) => e = [ 25 p(3)]/f
[ 0,5 e]^2 + [ 0,5 f]^2 = a^2 = 25
e^2/4 + f^2/4 = 25 / * 4
e^2 + f^2 = 100
czyli
[ 25 p(3)/ f]^2 = f^2 = 100
1875/f^2 + f^2 = 100 / * f^2
1 875 + f^4 = 100 f^2
f^4 - 100 f^2 + 1875 = 0
f^2 = x
x^2 - 100 x + 1875 = 0
----------------------------
delta = ( - 100)^2 - 4*1*1875 = 10 000 - 7 500 = 2 500
p(delty) = 50
x = [ 100 - 50]/2 = 25 lub x = [ 100 + 50]/2 = 75
czyli
f^2 = 25 => f = 5
==================
e = 25 p(3)/ 5 = 5 p(3)
=======================
e = 5 cm, f = 5 p(3) cm
Mamy więc
h/ f = tg 30 st
h/5 = p(3)/3
3 h = 5 p(3)
h = ( 5/3) p(3)
h = ( 5/3) p(3) cm
===================
Objętość graniastosłupa
V = Pp*h = 12,5 p(3) * ( 5/3) p(3) = 62,5
V = 62,5 cm^3
=================
Pole powierzchni
Pc = 2 Pp + Pb = 2 Pp + 4a*h
Pc = 2*12,5 p(3) + 4*5*( 5/3) p(3) = 25 p(3) + (100/3) p(3) = 25 p(3) + ( 33 1/3) p(3)
Pc = ( 58 1/3)*p(3)
Odp. Pc = ( 58 1/3 ) *p(3) cm^2
===================================
z.4
Pc = 96 cm^2
czyli
6 a^2 = 96
a^2 = 16
a = 4
a = 4 cm
========
d^2 = [ a p(2)]^2 + a^2 = 2 a^2 + a^2 = 3 a^2
czyli
d = a p(3)
d = 4 p(3) cm
==============
V = a^3 = ( 4 cm)^3 = 64 cm^3
==============================