Question

Zad.1
Stosunek pola trójkąta równobocznego do pola kwadratu o przekątnej 3√2 jest równy 2:3. Oblicz pole tego trójkąta.
zad.2
Oblicz pole sześciokąta foremnego o boku 2√3
zad.3
promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny jest równy 4√3.oblicz pole i obwód tego sześciokąta.
zad.4
W okrąg o promieniu r=4cm wpisano ośmiokąt foremny.Oblicz pole tego ośmiokąta, jeżeli bok ośmiokąta jest odległy od środka okręgu o 3cm.
zad.5
W okrąg o promieniu r=6 wpisano kwadrat, trójkąt równoboczny i sześciokąt foremny. Oblicz długość boku i pole każdego z tych wielokątów.który z nich ma największe a który najmniejsze pole?
zad.6trójkąt foremny i sześciokąt foremny mają równe pola. Oblicz stosunek długości obwodów tych obu wielokątów.
zad.7
Oblicz pole i obwód koła opisanego na kwadracie o boku 4cm
zad.8.na zegarze ściennym wskazówka godzinowa ma długość 8cm, minutowa 10cm, a sekundowa 2,5 cm. Jaką drogę przebywa w ciagu 24 godzin koniec każdej wskazówki?
zad.9
Oblicz obwód i pole koła opisanego na trójkącie równobocznym o boku a=12cm
zad.10
Obliocz obwód i pole koła opisanego na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych 6cm i 8cm

Answer 1

1)
Pt/Pk=2/3
Pt=?
Pk=a²
d=3√2=a√2

3√2=a√2
3√2/√2=a
a=3

Pk=3²
Pk=9

Pt/9=2/3
3Pt=18
Pt=6

2)
Sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych
Ps=6Pt
Pt=a²√3/4

Pt=(2√3)²√3/4
Pt=12√3/4
Pt=3√3

Ps=6*3√3
Ps=18√3

3)
Znowu wykorzystujemy twierdzenie "Sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych"

Ps=6Pt
O=6a
r=4√3=a
Pt=a²√3/4

Pt=(4√3)²√3/4
Pt=48√3/4
Pt=12√3

Ps=6*12√3
Ps=72√3

O=6*4√3
O=24√3

4)
Po=8Pt (ośmiokąt składa się z 8 trójkątów równoramiennych)
Pt=½ah
h=3 (wysokość trójkąta jest równa odległości boku ośmiokąta od środka okręgu)

Wysokość dzieli trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne, r jest przeciwprostokątną, h jedną przyprostokątną a połowa długości boku ośmiokąta drugą przyprostokątną, więc korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.
r²=h²+(½a)²
4²=3²+¼a²
16=9+¼a²
¼a²=16-9
¼a²=7 |*4
a²=28
a≈5,3

Pt=½*5,3*3
Pt=7,95
Po=8*7,95
Po=63,6 cm²

5)
kwadrat

P=a²
d=2r=a√2
r=6

2*6=a√2
12=a√2
a=12/√2
a=12√2/√2*√2
a=12√2/2
a=6√2

P=(6√2)²
P=72

trójkąt równoboczny
P=a²√3/4
r=a√3/3
r=6

6=a√3/3
a=6/√3/3
a=6*3/√3
a=18/√3
a=18√3/√3*√3
a=18√3/3
a=6√3

P=(6√3)²√3/4
P=72√3/4
P=18√3

sześciokąt foremny
Ps=6Pt
Pt=a²√3/4
a=r
r=6

Pt=6²√3/4
Pt=36√3/4
Pt=9√3

Ps=6*9√3
Ps=54√3

Pk - 72
Pt - 18√3 ≈ 31,2
Ps - 54√3 ≈ 93,5

Najmniejsze pole ma trójkąt, a największe kwadrat.

6)
Pt=a²√3/4
Ps=6(b²√3/4) (bo jak już wcześniej pisałem "Sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych")
Ot=3a
Os=6b

Pt=Ps
a²√3/4=6(b²√3/4) |:√3/4
a²=6(b²√3/4)/√3/4
a²=6b²
a=b√6

Ot=3b√6
Ot/Os=3b√6/6b
Ot/Os=√6/2

7)
P=πr²
O=2πr
r=½d
d=a√2

d=4√2
r=½*4√2
r=2√2

P=π(2√2)²
P=8π

O=2π*2√2
O=4π√2

8)

wsk godzinna

O=2π*8
O=2*3,14*8
O=50,24
50,24*2=100,48 cm (*2 ponieważ wsk godzinowa zatacza w ciągu 24 h dwa koła)

wsk minutowa

O=2*3,14*10
O=62,8
62,8*24=1507,2 cm (*24 ponieważ wsk minutowa zatacza w ciągu 24 h 24 koła)

wsk sekundowa

O=2*3,14*2,5
O=15,7
15,7*1440=22608 cm (*1440 ponieważ wsk sekundowa zatacza w ciągu 24 h 1440 kół)

9)
P=πr²
O=2πr
r=a√3/3

r=12√3/3
r=4√3

P=π(4√3)²
P=48π

O=2π*4√3
O=8π√3


10)
P=πr²
O=2πr
r=½c (c-przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest średnicą opisanego na nim okręgu)

c²=a²+b²
c²=6²+8²
c²=36+91
c²=127
c≈11,3

r=½*11,3
r=5,65

P=π*5,65²
P=31,9225π

O=2π*5,65
O=11,3π