Question

zad1) rozłóz wielomiany na czynniki;

a)x³-4×+3

b)x³-5x²+2x+8

zad 2)

x³+x²-25x-25=0

zad3) Wyznacz wartość k,tak aby liczba 3 była pierwiastkiem wielomianu określonego wzorem

W(x)=2x³-5x²+kx-10

zad4) Dany jest wielomian W(x) określony wzorem W(x)=x⁴+mx³+(n-1)x²+mx+3 Wiedząc ,że W(1)=W(-1)orazW(2)=27 wyznacz m i n

zad 5)

Wyznacz wartości m i n dla których wielomiany W(x) i H(x) są równe

a)W(x)=5x4x³-3x² i H(x)=5x⁴+(m+n)x³-nx²₊x₋2

b)W(x)=3׳₊(m+2)x²+5x-1 i H(x)=(n-1)x³+4x²+5x-1

c)W(x)=n(x-1)(x+2)-m(x-3)(x+2) i H(x)=x²+5x+6

D)W(x)=(mx-3)(x²+1)+n i H(x)=5x³+(n-2)x²+1

proszę o szybkie rozwiązanie dam naj i dobrze bo to jest do zaliczenia semestru plis plis

Answer 1

Zad. 1

a)

x³-4×+3

Sprawdzamy, czy dzielniki wyrazy wolnego - 3 są pierwiastkami tego wielomianu

W(1) = 1³-4·1+3=1-4+3=0, czyli liczba 1 jest pierwiastek, a zatem na podstawie tw.Bezouta, dany wielomian jest podzielny przez dwumian x-1. Wykonujemy dzielenie:

(x³-4x+3) : (x-1) =

(można do tego wykorzystać szybki sposób, czyli schemat Hornera)

 

 

= x² + x - 3

stąd

x³-4x+3 = (x-1)(x² + x - 3)

 

b)

x³-5x²+2x+8

W(1) = 1³-5·1²+2·1+8 = 1-5+2+8=5≠0

W(-1)=(-1)³-5·(-1)²+2·(-1)+8=-1-5-2+8=0

(x³-5x²+2x+8) : (x+1) =

 

 

= x²-6x+8

x³-5x²+2x+8 = (x+1)(x²-6x+8)

 

Zad. 2

x³+x²-25x-25=0

x²(x+1)-25(x+1)=0

(x+1)(x²-25)=0

x+1=0 V x²-25=0

x+1=0

x₁=-1

x²-25=0

x²=25

x₂=√25=5 i x₃=-√25=-5

Odp. x₁=-1, x₂=5, x₃=-5

 

Zad. 3

W(x)=2x³-5x²+kx-10

W(3)=0

W(3)=2·3³-5·3²+k·3-10=2·27-5·9+3k-10=54-45+3k-10=3k-1

3k-1=0

3k=1  /:3

k = ⅓

 

Zad. 4

W(x)=x⁴+mx³+(n-1)x²+mx+3

W(1)=W(-1)

W(2)=27

W(1) = 1⁴+m·1³+(n-1)·1²+m·1+3 = 1+m+n-1+m+3=2m+n+3

W(-1) =(-1)⁴+m·(-1)³+(n-1)·(-1)²+m·(-1)+3 = 1-m+n-1-m+3=-2m+n+3

W(1)=W(-1)

2m+n+3=-2m+n+3

2m+n+3+2m-n-3=0

4m=0  /:4

m=0

W(2)=2⁴+m·2³+(n-1)·2²+m·2+3 = 16+4m+4n-4+2m+3=6m+4n+15

6m+4n+15=27

6·0+4n=27-15

4n=12 /:4

n=3

Odp. m = 0 i n = 3

 

Zad. 5

Tw. Dwa wielomiany są równe wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach oraz mają te same dziedziny.

a)

Błędny zapis W(x)=5x4x³-3x² - prawdopodobnie powinno być:

W(x)=5x⁴+4x³-3x²+x-2 i H(x)=5x⁴+(m+n)x³-nx²₊x₋2, bo przy Twoim zapisie wielomiany nie byłyby równe.

 

W(x)=5x⁴+4x³-3x²+x-2 i H(x)=5x⁴+(m+n)x³-nx²₊x₋2

Z prównania wspólczynników otrzymujemy:

{m+n=4

{-n=-3  /·(-1)

 

{m+n=4

{n=3

 

{m+3=4

{n=3

 

{m=4-3

{n=3

 

{m=1

{n=3

 

b)

W(x)=3׳₊(m+2)x²+5x-1 i H(x)=(n-1)x³+4x²+5x-1

{n-1=3

{m+2=4

 

{n=3+1

{m=4-2

 

{n=4

{m=2

 

{m=2

{n=4

 

c)

W(x)=n(x-1)(x+2)-m(x-3)(x+2) i H(x)=x²+5x+6

W(x) = n(x²+2x-x-2)-m(x²+2x-3x-6) = n(x²+x-2)-m(x²-x-6) = nx²+nx-2n-mx²+mx+6m = nx²-mx²+nx+mx-2n+6m = (n-m)x²+ (n+m)x+(-2n+6m)

{n-m=1

{n+m=5

{-2n+6m=6

Dodajemy stronami dwa pierwsze równania i otrzymujemy:

{2n=6  /:2

{-2n+6m=6

 

{n=3

{-2·3+6m=6

 

{n=3

{-6+6m=6

 

{n=3

{6m=6+6

 

{n=3

{6m=12  /:6

 

{n=3

{m=2

 

{m=2

{n=3

 

D)

W(x)=(mx-3)(x²+1)+n i H(x)=5x³+(n-2)x²+1

 

W(x)=(mx-3)(x²+1)+n =mx³+mx-3x²-3=mx³-3x²+mx-3+n

H(x)=5x³+(n-2)x²+1

Wielomiany nie są równe, bo porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach otrzymujemy sprzeczność: m=5 i m=0 oraz n=-1 i n=4.

Możliwe, że wielomiany zostały źle przepisane, ale tu nie mam pomysłu jakie powinne być.