bzikula
Dziękuję :) w ostatnim wielomianie przed drugim dzieleniem ponownie szukam potencjalnego pierwiastka, czy jest jakieś twierdzenie i to ta sama liczba, co w przypadku pierwszego dzielenia?
dymek101
Twierdzenie Bézouta ,które mówi że jeżeli a jest pierwiastkiem wielomianu , to ten wielomian dzieli się przez x-a , w ostatnim 1/2 jest podwójnym pierwiastkiem
bzikula
Nie o Bezouta mi chodziło. W wielomianie 4 stopnia korzystasz z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych i znajdujesz 1/2 , potem dzielisz i dostajesz wielomian stopnia 3. I teraz moje pytanie: kolejny raz szukasz miejsca zerowego dla wielomianu st.3 wśród dzielników jego wyrazu wolnego, czy wykorzystujesz po prostu miejsce zerowe z wielomianu stopnia 4, który wcześniej znalazłeś?
dymek101
oczywiście ,że już nowego wielomianu stopnia 3
Odpowiedź:
a)
W(-1)=0
[tex]\begin{array}{lll}(x^3 +2x^2 -5 x -6 ) : & (x+1) = x^2 + x - 6\\\underline{-x^3 - x^2} & & \\\hspace{0.9 cm} \ x^2 - 5x -6 & & \\\hspace{0.6 cm} \ \underline{-x^2-x} & &\\\hspace{1.7cm} -6x - 6 & & \\\hspace{1.7cm} \underline{+6x + 6} & & \\\ \ \hspace{2.6cm}= \ & &\end{array}[/tex]
[tex]\Delta =1+4*6=25\qquad \sqrt{\Delta} =5\\\displaystyle x_1=\frac{-1+5}{2} =2 \qquad x_2=\frac{-1-5}{2}=-3\qquad x_3=-1\\b)\\w(x)=x^{4} -x^{3} -x^{2} -x-2\\w(-1)=0\\[/tex]
[tex]\begin{array}{lll}(x^4 -x^3 - x^2 -x -2) & : & (x+1) = x^3 -2x^2 + x -2 \\\underline{-x^4 - x^3} & & \\\qquad -2x^3 - x^2 -x -2 & & \\\qquad \ \ \underline{2x^3 +2x^2} & &\\\qquad \qquad \qquad x^2 - x - 2 & & \\\qquad \qquad \quad \underline{-x^2 - x} & & \\\qquad \qquad \qquad \qquad -2x - 2 & & \\\qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \underline{2x + 2} & & \\\qquad \qquad \qquad \qquad \quad =\quad= \ \ & &\end{array}[/tex]
[tex]x^{3} -2x^{2} +x-2=x^{2} (x-2)+(x-2)=(x-2)(x^{2} +1)\\x_1=-1\qquad x_2=2\\c)\\w(x)=-4x^{4} -x^{2} +3x-1\\\displaystyle w\left(\frac{1}{2} \right)=0\\[/tex]
[tex]\begin{array}{lll}(-4x^4 +0x^3 -x^2 +3x -1) & : & (2x-1) = -2x^3 - x^2 -x +1 \\\underline{+4x^4 -2 x^3} & & \\\qquad -2x^3 - x^2 +3x -1 & & \\\qquad \ \ \underline{2x^3 - x^2} & &\\\qquad \quad \quad -2x^2 +3x -1 & & \\\qquad \qquad \quad \underline{2x^2 - x} & & \\\qquad \qquad \qquad \qquad 2x - 1 & & \\\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \underline{-2x + 1} & & \\\qquad \qquad \qquad \qquad \quad =\quad= \ \ & &\end{array}[/tex]
[tex]\displaystyle w\left(\frac{1}{2} \right)=0\\\begin{array}{lll}(-2x^3 -x^2 - x +1 ) : & (2x-1) = -x^2 -x -1\\\underline{+2x^3 - x^2} & & \\\hspace{0.9 cm} \ -2x^2 - x +1 & & \\\hspace{1.1 cm} \ \underline{2x^2-x} & &\\\hspace{2cm} -2x +1 & & \\\hspace{2.2cm} \underline{2x -1} & & \\\ \ \hspace{2.6cm}= \ & &\end{array}[/tex]
[tex]\displaystyle \Delta =1-4=-3 < 0\\x_1=x_2=\frac{1}{2}[/tex]