Question

zad.1. Pole podstawy stożka o tworzącej 10 cm i wysokości 6 cm wynosi;

zad.2. Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 3 cm i wysokości 7 cm wynosi;

zad.3. Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy 6 i krawędzi bocznej 12 wynosi;

zad.4. Objętość walca, którego przekrój osiowy jest kwadratem o polu 64cm² wynosi;

zad.5. Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokatnego,w którym krawędz boczna o długości 8 cm jest nachylona do podstawy pod kątem 30° jest równa;

zad.6. Objętość walca o wysokości 4 i polu powierzchni bocznej 32 π jest równa;

zad.7. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy 10 i krawędzi bocznej 13 wynosi;

zad.8. Pole powierzchni całkowitej stożka ,którego przekrój osiowy jest trójkatem równobocznym o boku 6 cm wynosi;

zad.9. Objętość kuli o powierzchni 100 π cm² ma długość;

zad.10. Objętość stożka, w którym tworząca długości 15 jest nachylona do podstawy pod kątem 60° wynosi;

zad.11. Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o polu podstawy 21cm² i objętości 21 cm3 ma długość;

zad.12. Pole powierzchni całkowitej walca o objętości 36 m3 i promieniu podstawy 2 m jest równe;

zad.13. Objętość czworościanu foremnego,którego pole powierzchni całkowitej wynosi 25√3cm² jest równa;

zad.14. Pole kuli o objetości 27 π wynosi;

Answer 1

zad 1

l - tworząca = 10 cm

h - wysokość = 6 cm

r - promień podstawy = √(l² - h²) = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8 cm

Pp - pole podstawy = πr² = π8² = 64π cm²

zad 2

a - krawędź podstawy = 3 cm

h - wysokość = 7 cm

Pp - pole podstawy = a² = 3² = 9 cm²

V - objętość = ⅓* Pp * h = ⅓ * 9 * 7 = 63/3 = 21 cm³

zad 3

a - krawędź podstawy = 6

b - krawędź boczna = 12

h - wysokość podstawy = a√3/2 = 6√3/2 = 3√3

H - wysokość ostrosłupa = √(b² - ⅔h²) = √[(12² - (3√3)²] = √(144 - 27) = √117 = 3√13

Pp - pole podstawy = a²√3/4 = 6²√3/4 = 36√3/4 = 9√3

 

 V - objętość = ⅓ * Pp * H = ⅓ * 9√3 * 3√13 = ⅓ * 27√39 = 9√39

zad 4

P - pole przekroju = 64 cm²

d - średnica podstawy = √P = √64 = 8 cm

h - wysokość walca = d = 8 cm

r - promień podstawy = ½d = 8/2 = 4 cm

Pp - pole podstawy = πr² = π4² = 16π cm²

V - objętość = Pp * h = 16π * 8 = 108π cm³

zad 5

b - krawędź boczna = 8 cm

α -kąt nachylenia krawędzi = 30°

h - wysokość ostrosłupa = ?

h/b = sinα

h = b * sinα = 8 * sin30° = 8 * ½ = 4 cm

a - krawędź podstawy = ?

d - przekątna podstawy = a√2

½d = a√2/2

a√2/2 = √(b² - h²) = √(8² - 4²) = √(64 - 16) = √48 = 4√3 cm

a√2/2 = 4√3

a√2 = 8√3

a = 8√3/√2 = 8√6/2 = 4√6 cm

Pp - pole podstawy = a² = (4√6)² = 96 cm²

V - objętość = ⅓ * Pp * h = ⅓ * 96 * 4 = 128 cm³

zad 6

Pb - pole powierzchni bocznej = 32π

h - wysokość = 4

Pb = 2πrh = 2πr * 4 = 8πr

8πr = 32π

r - promień podstawy = 32π/8π = 4

Pp - pole podstawy = πr² = π4² = 16π

V - objętość = Pp * h = 16π * 4 = 64π

zad 7

a - krawędź podstawy = 10

b - krawędź boczna = 13

Pp - pole podstawy = 6 * a²√3/4 = 6 * 10²√3/4 = 6 * 100√3/4 = 150√3

½a = 10/2 = 5

h - wysokość ściany bocznej = √(b² - ½a²) = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12

Pb - pole powierzchni bocznej = 6 * a * h/2 = 3 * a * h = 3 * 10 * 12 = 360

Pc - pole powierzchni całkowitej = Pp + Pb = 150√3 + 360 = 30(5√3 + 12)

zad 8

a - bok przekroju = 6 cm

d - średnica podstawy = 6 cm

l - tworząca stożka = 6 cm

r - promień podstawy = ½a = 6/2 = 3 cm

Pp - pole podstawy = πr² = π3² = 9π cm²

Pb - pole powierzchni bocznej = πrl = π * 3 * 6 = 18π cm²

Pc - pole powierzchni całkowitej = Pp + Pb = 9π + 18π = 27π cm²

zad 9

P - pole powierzchni kuli = 100π cm²

P = 4πR²

4πR² = 100π

R² = 100π/4π = 25

R - promień kuli = √25 = 5

V - objętość kuli = 4/3 * πR³ = 4/3 * π * 5³ = 500π/3

zad 10

l - tworząca = 15

α - kąt nachylenia = 60°

r- promień podstawy = l * cos60° = 15 * ½ = 7,5

h - wysokość stożka = l * sin60° = 15 * √3/2 = 7,5√3

Pp - pole podstawy = πr² = π * 7,5² = 56,25π

V - objętość stożka = ⅓ * Pp * h = ⅓ * 56,25π * 7,5√3 = 140,625π√3

zad 11

 

Pp - pole podstawy = 21 cm²

V - objętość = 21 cm³

V = ⅓ * Pp * h

h = V/⅓Pp = 21/7 = 3 cm

zad 12

V - objętość = 36 m³

r - promień podstawy = 2 m

V = Pp * h

Pp - pole podstawy = πr² = π * 2 = 2π m²

h - wysokość walca = V/Pp = 36/2π = 18/π cm

p - obwód podstawy = 2πr = 2π * 2 = 4π m

Pb - pole powierzchni bocznej = p * h = 4π * 18/π = 72 m²

Pc - pole całkowite = Pp + Pb = 2π + 72 = 2(π + 36) m²

zad 13

Pc - pole całkowite = 25√3 cm²

P₁ - pole jednej ściany = Pc/4 = 25√3/4 cm²

P₁ = a²√3/4

a²√3/4 = 25√3/4

a² = 25

a = √25 = 5 cm

h - wysokość ściany bocznej i podstawy = a√3/2 = 5√3/2 cm

⅔h = ⅔ * 5√3/2 = 10√3/6

H - wysokość czworościanu = √[a² - ⅔h²] = √[(5² - (10√3/6)²] = √(25 - 300/36) = √(25 - 50/6) =

 = √(150 - 50)/6 = √100/6 = 10/√6 = 10√6/6= 5√6/3 cm

V - objętość = ⅓ * P₁ * H = ⅓ * 25√3/4 * 5√6/3 = ⅓ * 125√18/12 = 125√18/36 = 375√2/36 = 

 = 125√2/12 cm³

zad 14

V - objętość kuli = 27π

V = 4/3 * πR³

4πR³/3 = 27π

4πR³ = 81π

R³ = 81π/4π = 81/4

R = ∛81/4 = 

P - pole kuli = 4 πR² = 4π(∛81/4)² = 4π∛(81/4)² = 4π∛6561/16 = 12π∛243/16