Question

zad1
Po rozwinięciu powierzchni bocznej stożka na płaszczyźnie otrzymamy ćwiartkę koła o promieniu 12 cm . Oblicz objętość tego stożka
zad 2
Z kostki sześciennej wycięto walec , którego podstawa jest kołem wpisanym w ścianę sześcianu (rys ) . Jakim procentem objętości sześcianu jest objętość wyciętego walca

Answer 1

Ćwiartka koła o promieniu l = 12 cm (jest to tworząca stożka)
obliczamy obwód koła o promieniu l=12cm
L = 2πl = 2π*12cm = 24πcm
¼L = ¼*24πcm = 6πcm (obwód ćwiartki koła, jest to zarazem obwód podstawy stożka o promieniu r)
obliczamy promień podstawy stożka r
2πr=6πcm, stąd 2r = 6cm, r = 3cm
pole podstawy stożka πr² = π(3cm)² = 9πcm²
obliczamy wysokość stożka (korzystamy z trójkąta prostokątnego
I przyprostokątna to wysokość stożka h,
II przyprostokątna to promień podstawy r = 3cm
przeciwprostokątna to tworząca stożka l = 12cm)
h² + r² = l²
h² = l² - r²
h² = (12cm)² - (3cm)²= 144cm² - 9cm² = 135 cm²
h = √135 cm = √(9*15)cm = 3 √15 cm
obliczamy objętość stożka
V = ⅓πr²h = ⅓*9πcm²*3 √15 cm = 9√15πcm³
Odp. Objętość stożka jest równa 9√15πcm³

Zad.2
obliczamy objętość sześcianu o krawędzi a = 14cm
Vsz = a³ = (14cm)³ = 14*14*14 cm³ = 2744 cm³
obliczamy objętość walca o promieniu podstawy
r =½*14cm = 7cm i wysokości h = 14cm
Vw = πr²h = π(7cm)²*14cm = π*49cm²*14cm= 686 cm³
obliczamy jaką częścią objętości sześcianu jest objętośc walca
objętość walca / objętość sześcianu
686 cm³ /2744 cm³ = ⁴⁹/₁₉₆ = ¹/₄
zapisujemy ułamek w postaci procentów
¹/₄ * 100% = 25%
Odp. Objętość wyciętego walca to 25% objętości sześcianu.