Zad.1. Dane jest równanie x^2 + bx + c = 0 z niewiadomą x. Wyznacz wartości b i c tak, by były one r.... Question from @sheerdelight

September 2018 1 89 Report

Zad.1. Dane jest równanie x^2 + bx + c = 0 z niewiadomą x. Wyznacz wartości b i c tak, by były one rozwiązaniami danego równania.

Zad.2. Dane jest równanie (x+3)* [x^2 + (p+4)x +(p+1)^2] = 0 z niewiadomą x.

a) Rozwiąż to równanie dla p = 1.

b) Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których równanie to ma tylko jedno rozwiązanie.

Zad.3. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,c funkcja:

f(x) = (x-a)(x-b) + (x-b)(x-c) + (x-c)(x-a)

ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

Zad. 4. Uzasadnij, że jeżeli a+b=1 i a^2 + b^2 = 7 to a^4 + b^4 = 31

Anonietka

zadanie 1

$x^2 + bx +c = 0$

b i c mają być rozwiązaniami, zatem wykorzystam postać iloczynową :

$(x-b)(x-c) = 0\\ x^2 - bx - cx + bc = 0 \\ x^2 + (-b-c)x + bc = 0$

$-b-c = b\\ -c = 2b\\ c=-2b\\ \\ bc = c\\ b(-2b) = -2b \\ -2b^2 + 2b = 0\\ -2b(b-1)=0 \\ b_1 = 0 \Rightarrow c_1 = 0\\ b_2 = 1 \Rightarrow c_2 = -2$

zadanie 2

$(x+3)[x^2 + (p+4)x + (p+1)^2 ] =0$

$p=1\\ (x+3)(x^2 + 5x + 4) = 0\\ x+3= 0\\ x=-3\\ x^2 + 5x + 4 = 0\\ \Delta=5^2-4\cdot 1\cdot 4 = 25-16 = 9\\ \sqrt{\Delta}=3\\ x_1=\frac{-5-3}{2}=-4\\ x_2=\frac{-5+3}{2}=-1$

b) mamy dwa przypadki

1) funkcja kwadratowa nie ma pierwiastka

\Delta < 0 \\

$(p+4)^2 - 4\cdot 1\cdot (p+1)^2 < 0 \\ p^2 + 8p + 16 - 4(p^2 + 2p+1) < 0 \\ p^2 + 8p + 16 - 4p^2 - 8p -4 < 0$

$-3p^2 +12 < 0\\ p^2 - 4 > 0\\ (p-2)(p+2) > 0\\ p\in (-\infty, -2)\cup (2,\infty)$

2) funkcja kwadratowa ma jeden pierwiastek równy -3

$\Delta=0\\ p=-2 \vee p=2\\$

dla p=-2

$x^2 + 2x + 1 = 0$

pierwiastkiem nie jest -3 zatem odpada

dla p=2

$x^2 + 6x + 9 = 0\\ (x+3)^2 = 0$

pierwiastkiem jest -3 ;)

ostetaczne odpowiedź :

$p\in (-\infty, -2)\cup <2,\infty)$

zadanie 3

$(x-a)(x-b) + (x-b)(x-c) + (x-c)(x-a) = 0\\ x^2 - ax - bx + ab + x^2 - bx - cx + bc + x^2 - ax - cx + ac = 0\\ 3x^2 + x(-2a-2b-2c) + (ab+bc+ac) = 0$

$\Delta=(-2a-2b-2c)^2 -4\cdot 3\cdot (ab+bc+ac) = \\ =4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + 8ab + 8ac + 8bc - 12(ab+bc+ac)=\\ =4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + 8ab + 8ac + 8bc - 12ab - 12bc - 12ac =$

$=4a^2 + 4b^2 + 4c^2 - 4ab - 4bc - 4ac = \\ =2(a^2 - 2ac + c^2) + 2(a^2 -2ab + b^2) + 2(b^2 - 2bc + c^2) = \\ =2(a-c)^2 + 2(a-b)^2 + 2(b-c)^2 \ge 0$

zatem ma conajmnije jedno miejsce zerowe

zadanie 4

$a+b=1\\ (a+b)^2 = 1^2\\ a^2 + 2ab + b^2 = 1\\ a^2 + b^2 + 2ab = 1\\ 7 + 2ab =1 \\ 2ab = -6\\ ab=-3\\ \\ a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2 = 7^2 - 2(ab)^2=49-2(-3)^2 = 49-18=31$