Zad. 7 Sumę 50 składników zmieniono następująco: pierwszy składnik zmniejszono o 1 drugi składnik zw.... Question from @eVIUFNYFGYIRLVL

October 2022 1 3 Report

Zad. 7 Sumę 50 składników zmieniono następująco:
pierwszy składnik zmniejszono o 1
drugi składnik zwiększono o 2,
trzeci składnik zmniejszono o 3,
czwarty składnik zwiększono o 4, itd. ... pięćdziesiąty składnik zwiększono o 50.
Jak zmieniła się wartość tej sumy?
Odpowiedź uzasadnij stosując odpowiedni zapis algebraiczny

platon1984

Rozważaną sumę można przedstawi jako:

$S=\sum_{i=1}^{50}{a_i}$

jeżeli teraz każdy składnik zmieniamy w odpowiedni sposób, to otrzymujemy nową sumę:

$S_1=\sum_{i=1}^{50}{(a_i+i(-1)^i)}=\sum_{i=1}^{50}{a_i}+\sum_{i=1}^{50}{i(-1)^i}\\S_1=S+\sum_{i=1}^{50}{i(-1)^i}$

cała zadanie polega zatem na policzeniu tej drugiej sumy. Można ją podzielić jeszcze na dwie podsumy: składników dodatnich i ujemnych:

$\sum_{i=1}^{50}{i(-1)^i}=-1-3-\ldots-49+2+4+\ldots+50$

Każda z tych podsum jest sumą ciągu arytmetycznego o różnicy -2

oraz 2:

$-1-3-\ldots-49=\frac{-1-49}{2}\cdot25=-25\cdot25=-625\\2+4+\ldots+50=\frac{2+50}{2}\cdot25=26\cdot25=650\\S_1=S-625+650=S+25$

Wartość sumy wzrośnie o 25.

Można też dużo prościej, ale przez to mniej matematycznie. Wystarczy pogrupować składniki parami i zauważyć, że każda para to wzrost sumy o 1. Part jest 25, czyli cała suma wzrośnie o 25.

pozdrawiam

2 votes Thanks 2