Zad. 6 i 7 ( w załączniku) Dam naj.... Question from @Creative8

December 2018 1 26 Report

Zad. 6 i 7 ( w załączniku) Dam naj.

Grzesinek 6.
Definicja wartości bezwzględnej:
|x|= x, jeśli x ≥ 0 lub
|x|= -x, jeśli x < 0
np. |3| = 3, |-5| = 5, |0| = 0

$a)\\x^2-4|x|\ge0$
Rozpisujemy to i pozostałe nierówności na 2 przypadki, gdy wartość między kreskami | | jest nieujemna lub gdy jest ujemna.
$Dla\ x\ge0\\x^2-4x\ge0\\x(x-4)\ge0\\x\le0\lor{x}\ge4\\ale\ x\ge0,\ wi\c{e}c:\\x\in\{0\}\cup\langle4;+\infty)\\Dla\ x<0\\x^2+4x\ge0\\x(x+4)\ge0\\x\ge0\lor{x}\le-4\\ale\ x<0,\ wi\c{e}c:\\x\in(-\infty;-4\rangle\\Ostatecznie:\ x\in(-\infty;-4\rangle\cup\langle4;+\infty)$

$b)\\x^2+6x\le0,\ dla\ x\ge0\ \lor\ x^2-6x\le0,\ dla\ x<0$
Rozwiązując podobnie jak w punkcie a) otrzymamy:
$tylko\ \{0\}\ dla\ x\ge0\ oraz\ \langle-6;0)\ dla\ x<0$

$c)\\x^2+2x-3<0\ \lor\ x^2-2x-3<0\\\Delta_1=2^2-4\cdot1\cdot(-3)=16\\x_1=\frac{-2-\sqrt{16}}{2\cdot1}=-3\\x_2=\frac{-2+\sqrt{16}}{2\cdot1}=1\\(x+3)(x-1)<0\\x\in(-3;1),\ ale\ x\ge0,\ wiec:\ x\in\langle0;1)\\\Delta_2=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)=16\\x_1=\frac{2-\sqrt{16}}{2\cdot1}=-1\\x_2=\frac{2+\sqrt{16}}{2\cdot1}=3\\(x+1)(x-3)<0\\x\in(-1;3),\ ale\ x<0,\ wiec:\ x\in(-1;0)\\Ostatecznie:\ x\in(-1;1)$

Dalej podam tylko skrócone rozwiązania, bo praktycznie powinieneś zrobić już je samemu na podstawie poprzednich rozwiązań:

$d)\\2x^2-5x-3\ge0\ \lor\ 2x^2+5x-3\ge0\\(x-3)(x+0,5)\ge0\ \lor\ (x-0,5)(x+3)\ge0\\x\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)\\lub\ inaczej:\ x\in{\Re}\setminus\langle-3;3\rangle$

$e)\\x^2-x-2\ge0\ dla\ x\ge-2\ \lor\ x^2+x+2\ge0\ dla\ x<-2\\(x+1)(x-2)\ge0\\x\in\langle-2;-1\rangle\cup\langle2;+\infty)$
Dla x<-2 delta jest ujemna, więc wtedy nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Odp. $x\in\langle-2;-1\rangle\cup\langle2;+\infty)$

$f)\\x^2-2x+8<0\ dla\ x\ge4\ \lor\ x^2+2x-8<0\ dla\ x<4\\x\in(-4;2)\ \land\ x<4\\x\in(-4;2)$
Dla x ≥ 4 delta jest ujemna.

7.
$a)\\A=\{x\in\Re:x^2-x-6\le0\},\ B=\{x\in\Re:-x^2\le4x\}$
Należy rozwiązać nierówności jak w zad.6, a następnie znaleźć sumę zbiorów:
$A\cup{B}$ (x należy do A lub B, lub do obu jednocześnie), iloczyn (część wspólną, czyli x należy do A i należy do B) $A\cap{B}$ oraz różnicę $A\setminus{B}$ (czyli x należy do A i nie należy do B).
Przy pomocy wzorów na deltę i pierwiastki równania kwadratowego, rozkładamy równania na czynniki pierwsze.
$A=\{x\in\Re:(x+2)(x-3)\le0},\ B=\{x\in\Re:x(x-4)\ge0\}\\A=\{x\in\langle-2;3\rangle\},\ B=\{x\in(-\infty;0\rangle\cup\langle4;+\infty)\}\\A\cup{B}=\{x\in(-\infty;3\rangle\cup\langle4;+\infty)\}\\A\cap{B}=\{x\in\langle-2;0\rangle\}\\A\setminus{B}=\{x\in(0;3\rangle\}$

$b)\\A=\{x\in\Re:x^2+\frac{7}{2}x-2>0\},\ B=\{x\in\Re:x^2-x+\frac{1}{4}\le0\}\\A=\{x\in\Re:(x+4)(x-\frac{1}{2})>0\},\ B=\{x\in\Re:(x-\frac{1}{2})^2\le0\}\\A=\{x\in(-\infty;-4)\cup(\frac{1}{2};+\infty)\},\ B=\{\frac{1}{2}\}\\A\cup{B}=\{x\in(-\infty;-4)\cup\langle\frac{1}{2};+\infty)\}\\A\cap{B}=\emptyset\\A\setminus{B}=A=\{x\in(-\infty;-4)\cup(\frac{1}{2};+\infty)\}$

Mam nadzieję, że z narysowaniem przedziałów na osi nie będzie problemu. Przedziały zawierające znak $\langle$ lub $\rangle$ oznaczają, że liczba skrajna należy do przedziału, a gdy jest nawias okrągły, to nie należy. I mam nadzieję, że nie zrobiłem błędów ;) Najważniejsze, że jeśli to zrozumiesz, to poznasz zasadę tworzenia zbiorów liczbowych i działań na nich.
Pozdrawiam.

2 votes Thanks 1