Question

zad 1
wykaż, ze kwadrat liczby całkowitej dającej z dzielenia przez 3 reszte 2, przy zieleniu przez 3 daje reszte 1.

zad 2
wykaż ze jezeli m ∈ liczb całkowitych to m⁶-2m⁴+m² jest podzielne przez 36

Answer 1

Zad.1.

załóżmy, że nasza liczba całkowita to 3n+2 - liczba dająca z dzielenia przez 3 resztę 2

podnieśmy tą liczbę do kwadratu:

(3n+2)=9n²+12n+4 sprawwdźmy każdy z tych składników osobno:

9n²=3*3n² jest podzielne przez 3 dając resztę 0, ponieważ każda liczba pomnożona przez 3 jest podzielna przez 3

12n=3*4n jest podzielne przez 3 dając resztę 0, ponieważ każda liczba pomnożona przez 3 jest podzielna przez 3

4 dzielone przez 3 daje resztę 1

teraz wystarczy, że dodamy reszty 3 składników i znamy resztę kwadratu początkowej liczby:

ponieważ pierwsze 2 składniki nie mają reszty, a resztę 1 ma tylko liczba 4 to kwadrat liczby całkowitej dającej z dzielenia przez 3 reszte 2, przy dzieleniu przez 3 daje reszte 1 co mieliśmy udowodnić

 

zad. 2.

m⁶-2m⁴+m²

ustalny zmienną z taką, że:

z=m² i wstawmy to w równanie:

z³-2z²+z=z(z²-2z+1)=z(z-1)²

teraz wstawmy sporwotem m:

m²(m²-1)²=m²((m-1)(m+1))²=m*m(m-1)(m-1)(m+1)(m+1)

 

ponieważ mnożenie jest przemienne poukładajmy to w następujący sposób:

(m-1)m(m+1)(m-1)m(m+1)

przyjmijmy, że x=(m-1)m(m+1)

w zadaniu:

http://zadane.pl/zadanie/1319532

udowodniłem, że iloczyn 3 kolejnych liczb jest podzielna przez 6

zatem wstawiając x do równania wychodzi nam, że

(m-1)m(m+1)(m-1)m(m+1)=x², gdzie x jest podzielne przez 6

jeśli liczba jest podzielna przez 6 oznacza, że liczba jest wielokrotnością liczby 6, zatem kwadrat pewnej wielokrotności liczby 6 jest wielokrotnością liczby 6²=36

zatem x² jest wielokrotnością liczby 36, co oznacza, że x²=(m-1)m(m+1)(m-1)m(m+1)=m⁶-2m⁴+m² jest podzielne bez reszty przez 36, co mieliśmy udowodnić