Question

zad. 1

udowodnij, że w trójkącie równoramiennym są 2 kąty równe

zad. 2

udowodnij twierdzenie: jeżeli suma dwóch naturalnych jest liczbą nieparzystą, to dokładnie jedna z nich jest liczbą nieparzystą

z góry dziekuję :)

Answer 1

1

Niech h oznacza długość wysokości poprowadzonej na podstawę tego trójkąta, a n=m będą długościami ramion.

 

Wtedy h/n=h/m, zatem sinus dwóch kątów jest taki sam. Z twierdznia pitagorasa policzymy, że wysokość h dzieli podstawę na dwie równe części. a=b

a/n=b/m stąd te kąty mają również taki sam cosinus. Dwa rózne kąty nie mogą mieć równocześnie takiego samego sinusa i cosinusa*, więc wykazałem, że w trójkącie równoramiennym istnieją dwa kąty równej miary.

 

* Wynika to z przesunięcia wykresu sin względem cos. Tam gdzie sinus przyjmuje takie same wartości, cosinus przyjmuje wartości o przeciwnych znakach.

 

2

Dowód nie wprost:

załóżmy, że suma jest nieparzysta, natomiast składniki albo oba są parzyste, albo oba nieparzyste.

(l parzyste są postaci 2n, a nieparzyste 2n+1)

W pierwszym przypadku mamy: 2k+2l=2(k+l), więc suma jest parzysta.

W drugim przypadku: (2k+1)+(2l+1)=2(k+l)+2=2(k+l+1), również parzysta.

Stąd sprzeczność w założeniu => dokładnie jedna z liczb musi być nieparzysta.