Question

Zad 1.

Dla jakiej wartości parametru m liczba a jest pierwiastkiem wielomianu w?

a) w(x) = -3x³ + 2x² +mx - 3 a = 1

b) w(x) = x³ + (2m - 1)x² - 3x + 7 a = 2

c) w(x) = - x³ + mx² - mx + 5 a = 3

d) w(x) = x³ + 3x² + (m² - 2m)x + 2 a = - 2

Zad.2. Rozłóż wielomian na czynniki i podaj jego pierwiastki.

a) w(x) = 5x⁵ - 10x³ + 5x

b) w(x) = - 3x⁵ + 30x³ - 75x

c) w(x) = 32x⁶ - 16x⁴ + 2x²

d) w(x) = - 125x³ - 27

e) w(x) = 8x⁴ + 27x

f) w(x) = - 14x³ + 7x

Answer 1

Zad. 1

Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy W(a)=0.

 

a)

W(x) = -3x³ + 2x² + mx - 3     a = 1

W(1) = 0

-3·1³ + 2·1² + m·1 - 3 = 0

-3 + 2 + m - 3 = 0

-4 + m = 0

m = 4

W(x) = -3x³ + 2x² + 4x - 3

Odp. Dla m = 4 liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = -3x³ + 2x² + 4x - 3.

 

b)

W(x) = x³ + (2m - 1)x² - 3x + 7   a = 2

W(2) = 0

2³ + (2m - 1)·2² - 3·2 + 7 = 0

8 + (2m - 1)·4 - 6 + 7 = 0

8 + 8m - 4 + 1 = 0

8m + 5 = 0

8m = - 5 /:8

m = -⅝

W(x) = x³ + [2·(-⅝) - 1]x² - 3x + 7 = x³ + (- ⁵/₄ - 1)x² - 3x + 7 = x³ -2¼x² - 3x + 7

Odp. Dla m = -⅝ liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = x³ -2¼x² - 3x + 7.

 

c)

W(x) = - x³ + mx² - mx + 5    a = 3

W(3) = 0

- 3³ + m·3² - m·3 + 5 = 0

- 27 + 9m - 3m + 5 = 0

6m - 22 = 0

6m = 22 /:6

m = ²²/₆ = ¹¹/₃ = 3⅔

W(x) = - x³ + 3⅔x² - 3⅔x + 5

Odp. Dla m =3⅔ liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = - x³ + 3⅔x² - 3⅔x + 5.

 

d)

W(x) = x³ + 3x² + (m² - 2m)x + 2      a = - 2

W(-2) = 0

(-2)³ + 3·(-2)² + (m² - 2m)·(-2) + 2 = 0

-8 + 12 - 2m² + 4m + 2 = 0

-2m² + 4m + 6 = 0 /:(-2)

m² - 2m - 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16; √Δ = 4

m₁ = (2-4) : 2 = -2 : 2 = - 1

m₂ = (2+4) : 2 = 6 : 2 = 3

m = - 1 ⇒ W(x) = x³ + 3x² + [(-1)² - 2·(-1)]·x + 2 = x³ + 3x² + (1 + 2)·x + 2 = x³ + 3x² + 3x + 2

m = 3 ⇒ W(x) = x³ + 3x² + (3² - 2·3)x + 2 = x³ + 3x² + (9 - 6)x + 2 = x³ + 3x² + 3x + 2

Odp. Dla m = - 1 lub m = 3 liczba 3- 2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = x³ + 3x² + 3x + 2.

 

Zad. 2

a)

W(x) = 5x⁵ - 10x³ + 5x = 5x(x⁴ - 2x² + 1) = 5x(x⁴ - x² - x² + 1) = 5x[x²(x² - 1) - 1(x² - 1)] = 5x(x² - 1)(x² - 1) = 5x(x² - 1)² = 5x[(x - 1)(x+ 1)]² = 5x(x - 1)²(x + 1)²

 

b)

W(x) = - 3x⁵ + 30x³ - 75x = - 3x(x⁴ - 10x² + 25) = - 3x[(x²)² - 2·5·x² + 5²] = - 3x(x² - 5)² = - 3x[(x - √5)(x + √5)]² = - 3x(x - √5)²(x + √5)²

 

c)

W(x) = 32x⁶ - 16x⁴ + 2x² = 2x²(16x⁴ - 8x² + 1) = 2x²[(4x²)² - 2·4x²·1 + 1²] = 2x²(4x² - 1)² = 2x²[(2x - 1)(2x + 1)]² = 2x²(2x - 1)²(2x + 1)²

 

d)

W(x) = - 125x³ - 27 = (-5x)³ - 3³ = (-5x - 3)(25x² - 15x + 9) = - (5x + 3)(25x² - 15x + 9)

 

e)

W(x) =  8x⁴ + 27x = x(8x³ + 27) = x[(2x)³ + 3³] = x(2x + 3)(4x² - 6x + 9)

 

f)

W(x) = - 14x³ + 7x = 7x(-2x² + 1) = 7x(1 - 2x²) = 7x(1 - √2x)(1 + √2x)