Question

Zad. 1 Udowodnij, ze dwie liczby przy dzieleniu przez trzecia liczbe daja te sama reszte, to ich roznica jest podzielna przez ta liczbe. Zad.2 Liczba a przy dziel przez 5 daje reszte 3. Wykaz ze kwadrat liczby a powiekszony o 1 jest podzielny przez 5. Bardzo prosze o szybkie rozwiazanie i objasnienia. Daje naj jak to spelni

Answer 1

Dzielenie z resztą

Dla dowolnej liczby całkowitej m (m ∈ C) i dowolnej liczby naturalnej n (n ∈ N) istnieje tylko jedna para liczb całkowitych k i r (k, r ∈ C) taka, że:
m = k · n + r, gdzie 0 ≤ r < b

Liczba k to iloraz z dzielenia liczby m przez n, a liczba r to reszta z tego dzielenia

 

Zad. 1

m, n, o - dane liczby

Z treści zadania:

m = k · o + r

n = l · o + r

Stąd:

m - n = k · o + r - (l · o + r) = k · o + r - l · o - r = k · o - l · o = o · (k - l)

Zatem:

m - n = o · (k - l)

Na podstawie własności: Jeżeli w iloczynie jeden czynnik jest podzielny przez daną liczbę, to cały iloczyn jest podzielny przez tę liczbę, wnioskujemy, że iloczyn o · (k - l) jest podzielny przez o. Ten iloczyn jest równy różnicy liczb m i n, czyli różnica jest również podzielna przez liczbę o, co należało dowieść.

 

Zad. 2

Z treści zadania:

a = k · 5 + 3

a² + 1 = (k · 5 + 3)² + 1 = (5k + 3)² + 1 = 25k² + 30k + 9 + 1 = 25k² + 30k + 10 = 5 · (5k² + 6k + 2)

Iloczyn 5 · (5k² + 6k + 2) jest podzielny przez 5, a jest on równy a² + 1, zatem kwadrat liczby a powiększony o 1 jest podzielny przez 5, co należało dowieść.