Question

Zad 1. Funkcja kwadratowa określona jest wzorem:

y = 4x2 + 5x + 1

a) napisz wzór funkcji w postaci kanonicznej

b) podaj współrzędne wierzchołka w paraboli, która jest wykresem funkcji

c) podaj miejsca zerowe funkcji

d) naszkicuj wykres funkcji

e) określ ekstremum funkcji i podaj jej zbiór wartości

Zad 2. Rozwiąż równania:

a) (2x – 1)2 – (2x + 1)2 = x2

b) x2 – 4x + 25 = 0

Zad 3. Rozwiąż nierówności:

a) 2x2 + 5x + 2 > 0

b) (x – 1)2 + 5x 6x + 5

Zad 4. Rozłóż wielomian W na czynniki i oblicz jego pierwiastki

W = x3 - 2x2 + 4x – 8 = 0

Zad 5. Dla jakich wartości parametru p proste o równaniach : 3x – 4y + 5 = 0 i

(2p + 1) x – y + 3 = 0 są

a) równoległe

b) prostopadłe

Answer 1

zad 1

Postać ogólna: y=ax²+bx+c

Δ=b²-4ac

x₁=[-b-√Δ]/2a

x₂=[-b-√Δ]/2a

Postać kanoniczna (wierzchołkowa): y=a(x-p)²+q, gdzie p,q - współrzędne wierzchołka

p=-b/2a

q=-Δ/4a

Δ=b²-4ac

y=4x²+5x+1

----------------------------

a) y=4(x-5/8)² - 9/16

p=-5/8

q=-9/16

Δ=25-16=9

---

b) W(p, q)=W(-5/8, -9/16)

---

c) 

Δ=9

√Δ=3

x₁=[-5-3]/8=-1

x₂=[-5+3]/8=-1/4

---

e)

Ekstremum - największa lub największa wartość funkcji.

Wartość najmniejsza: q=-9/16

Zbiór wartości: y∈<-9/16, ∞)

==========================

 zad 2

a) (2x – 1)²–(2x + 1)²=x²

4x²-4x+1-4x²-4x-1-x²=0

-x²-8x=0

-x(x+8)=0

x=0  lub  x+8=0

                x=-8

---

b) x²–4x+25=0

Δ=16-100=-84<0

Δ<0 - nie ma rozwiązania

=======================

zad 3

a) 2x²+5x+2>0

Δ=25-16=9

√Δ=3

x₁=[-5-3]/4=-2

x₂=[-5+3]/4=-1/2

x∈(-∞, -2)u(-1/2, ∞)

---

b) (x–1)²+5x (nie ma znaku) 6x+5  

x²-2x+1-x-5 (nie ma znaku) 0

x²-3x-4 (nie ma znaku) 0

Δ=9+16=25

√Δ=5

x₁=[3-5]/2=-1

x₂=[3+5]/2=4

====================

zad 4

W(x)=x³-2x²+4x–8

W(x)=x²(x-2)+4(x-2)

W(x)=(x²+4)(x-2)

0=(x²+4)(x-2)

x-2=0

x=2

x²+4=0 - wyrażenie nierozkładalne (nie ma pierwiastka)

=======================

zad 5

Dane są dwie proste w postaci ogólnej:

A₁x+B₁y+C₁=0

A₂x+B₂y+C₂=0

Proste są:

1) równoległe wtw, gdy:

A₁B₂-A₂B₁=0

2) prostopadłe wtw, gdy:

A₁A₂+B₁B₂=0

--------

3x–4y+5=0 

(2p+1)x–y+3=0 

a)

3*(-1)-(2p+1)*5=0

-3-10p-5=0

10p=-8

p=-4/5

---

b)

3*(2p+1)+(-1)*5=0

6p+3-5=0

6p=2

p=1/3